ബുദ്ധിപരീക്ഷ

മലയാളത്തിലും സംസ്കൃതത്തിലും പദ്യരൂപത്തിലുള്ള ഒരു പ്രത്യേകതരം പ്രശ്നങ്ങളുണ്ടു്. ഒന്നിലധികം അര്‍ത്ഥമുള്ള ഒരുത്തരം എല്ലാ ചോദ്യങ്ങളുടെയും ഉത്തരമായി വരുന്നതാണു് ഇതിന്റെ രീതി.

അത്തരം ഒരു പ്രശ്നമാണിതു്. രണ്ടു ചോദ്യം, ഒരുത്തരം.

വാത്സല്യപാത്രമെന്താകും?
ഏറ്റവും മനസ്സില്‍ വേണ്ടതെന്തു താന്‍?
പണ്ഡിതന്മാരുരയ്ക്കട്ടേ
രണ്ടിനും ചേര്‍ന്നൊരുത്തരം

അതായതു്, രണ്ടു ചോദ്യങ്ങളുണ്ടു്:

1. ആരാണു വാത്സല്യഭാജനം?
2. ഒരു മനുഷ്യനു് ഏറ്റവും മനസ്സില്‍ വേണ്ടതു് എന്താണു്?

ഇതിനു രണ്ടിനും ഉത്തരമാകുന്ന ഒരു വാക്കോ വാക്യമോ പറയണം.

2006 ഒക്റ്റോബര്‍ 7 വരെയെങ്കിലും ഉത്തരം കമന്റായി ചേര്‍ക്കാം.

ഇതില്‍ ഇനി കമന്റുകള്‍ അനുവദിച്ചിട്ടില്ല. ഉത്തരം ഇവിടെ.

ചോദ്യം:

ചോദ്യം ഇവിടെ.

ഉത്തരം:

“സ്വര്‍ണ്ണമോ വെള്ളിയോ” എന്ന ലേബലുള്ള പെട്ടി തുറക്കുക. അതില്‍ ഒന്നുകില്‍ സ്വര്‍ണ്ണം മാത്രം, അല്ലെങ്കില്‍ വെള്ളി മാത്രം ആയിരിക്കുമല്ലോ.

• സ്വര്‍ണ്ണം മാത്രമെങ്കില്‍ “സ്വര്‍ണ്ണമോ വെള്ളിയോ” എന്ന ലേബല്‍ “വെള്ളി മാത്രം” എന്ന പെട്ടിയിലും, “വെള്ളി മാത്രം” എന്ന ലേബല്‍ “സ്വര്‍ണ്ണം മാത്രം” എന്ന പെട്ടിയിലും ഒട്ടിക്കുക. “സ്വര്‍ണ്ണം മാത്രം” എന്ന ലേബല്‍ ഇപ്പോള്‍ തുറന്ന പെട്ടിയില്‍ ഒട്ടിക്കുക.
• വെള്ളി മാത്രമെങ്കില്‍ “സ്വര്‍ണ്ണമോ വെള്ളിയോ” എന്ന ലേബല്‍ “ സ്വര്‍ണ്ണം മാത്രം” എന്ന പെട്ടിയിലും, “സ്വര്‍ണ്ണം മാത്രം” എന്ന ലേബല്‍ “വെള്ളി മാത്രം” എന്ന പെട്ടിയിലും ഒട്ടിക്കുക. “വെള്ളി മാത്രം” എന്ന ലേബല്‍ ഇപ്പോള്‍ തുറന്ന പെട്ടിയില്‍ ഒട്ടിക്കുക.

മൂന്നെണ്ണത്തില്‍ എല്ലാം തെറ്റാണെങ്കില്‍ അതിനു് ഒരു ചാക്രികപരിക്രമണം (cyclic rotation) ആവശ്യമാണു്. റൂബിക് ക്യൂബിന്റെ മൂലയിലുള്ള കട്ട പോലെ. അതു പ്രദക്ഷിണദിശയിലോ (clockwise direction) പ്രവാമദിശയിലോ (counter-clockwise direction) എന്നതു കണ്ടുപിടിക്കണം. അതിനു് ഏതെങ്കിലും ഒന്നു തുറന്നാല്‍ മതി. ഉദാഹരണത്തിനു്, ലേബലുകള്‍ “സ്വര്‍ണ്ണം”, “വെള്ളി”, “ചെമ്പു്” എന്നിങ്ങനെ ആയിരുന്നെങ്കില്‍ ഏതു തുറന്നാലും മതിയായിരുന്നു.

ഇവിടെ അതു “സ്വര്‍ണ്ണമോ വെള്ളിയോ” എന്ന ലേബലുള്ളതു തുറന്നാലേ പറ്റൂ. കാരണം, ഉദാഹരണത്തിനു “സ്വര്‍ണ്ണം” എന്നെഴുതിയ പെട്ടിയാണു് ആദ്യം തുറക്കുന്നതെങ്കില്‍, അതില്‍ വെള്ളി മാത്രം കണ്ടാല്‍, അതിന്റെ ശരിക്കുള്ള ലേബല്‍ “വെള്ളി മാത്രം” ആണോ “സ്വര്‍ണ്ണമോ വെള്ളിയോ” ആണോ എന്നറിയാന്‍ കഴിയില്ല.

നേരേ മറിച്ചു്, “സ്വര്‍ണ്ണമോ വെള്ളിയോ” എന്നതിനു പകരം “സ്വര്‍ണ്ണവും വെള്ളിയും” എന്ന ലേബലാണെങ്കില്‍, അതായതു രണ്ടും ഉണ്ടെന്നു് ഉറപ്പാണെങ്കില്‍ ഏതു പെട്ടി തുറന്നാലും മതി.

ഗുരുകുലത്തില്‍ ഈ ചോദ്യം ചോദിച്ചപ്പോള്‍ പുള്ളി ഇങ്ങനെ ചുരുക്കിപ്പറഞ്ഞു:

മൂന്നു പെട്ടിയിലും തെറ്റായലേബലായ സ്ഥിതിക്കു ഒന്നുതുറന്നു നോക്കി അതിലുള്ളസാധനത്തിന്റെ ലേബല്‍ മറ്റു രണ്ടില്‍ ഒന്നില്‍ നിന്നെടുത്ത്‌ അതിലൊട്ടിക്കുക. പിന്നെ അതിലുള്ള ലേബല്‍ മൂന്നാം പെട്ടിയിലും മൂന്നാം പെട്ടിയിലെ ലേബല്‍ രണ്ടാം പെട്ടിയിലും ഒട്ടിക്കുക.

ചോദ്യത്തില്‍ “സ്വര്‍ണ്ണവും വെള്ളിയും” എന്നായതുകൊണ്ടാണു് ഇങ്ങനെയൊരു ഉത്തരം കിട്ടിയതു്.

മൂന്നു പെട്ടികള്‍. മൂന്നിലും ആഭരണങ്ങള്‍. മൂന്നിന്റെ പുറത്തും ലേബലുണ്ടു്. “സ്വര്‍ണ്ണം മാത്രം”, “വെള്ളി മാത്രം”, “സ്വര്‍ണ്ണമോ വെള്ളിയോ” എന്നു മൂന്നു ലേബലുകള്‍. മൂന്നു പെട്ടിയിലും തെറ്റായ ലേബലാണുള്ളതെന്നു നമ്മളോടു പറഞ്ഞിട്ടുണ്ടു്. ഒരു പെട്ടി മാത്രം തുറന്നുനോക്കാന്‍ നമുക്കു് അനുവാദമുണ്ടു്.

ഒരു പെട്ടി മാത്രം തുറന്നു നോക്കിയിട്ടു് മൂന്നു പെട്ടിയുടെയും ലേബല്‍ ശരിയാക്കണം. എങ്ങനെ?

ഇതില്‍ ഇനി കമന്റുകള്‍ അനുവദിച്ചിട്ടില്ല. ഉത്തരം ഇവിടെ.

ചോദ്യം:

ചോദ്യം ഇവിടെ.

ഉത്തരം:

1. ഗണിതശാസ്ത്രത്തില്‍ വളരെയധികം വിവരവും വിദ്യാഭ്യാസവുമുള്ള ഒരു സുഹൃത്തിനോടു് (അദ്ദേഹത്തിനു് ഇപ്പോള്‍ ഒരു Ph. D. ഉണ്ടു്) ഈ ചോദ്യം ചോദിച്ചപ്പോള്‍ അദ്ദേഹം ഇങ്ങനെ സോള്‍‌വു ചെയ്തു:
   

   മിനിറ്റു സൂചിയുടെ ആംഗുലര്‍ വെലോസിറ്റി = radians/minute

   മണിക്കൂര്‍ സൂചിയുടെ ആംഗുലര്‍ വെലോസിറ്റി = radians/minute

   t മിനിട്ടു കഴിഞ്ഞാല്‍ അവ രണ്ടും ഒരു ദിശയിലാവും എന്നു വിചാരിക്കുക. അപ്പോള്‍

   

   രണ്ടു വശത്തെയും കൊണ്ടു ഗുണിച്ചാല്‍

   

   അതായതു്,

   

   ഇതു് അതിന്റെ സാമാന്യമായ ഉത്തരമാണു്. n-നു് ഏതു പൂര്‍ണ്ണസംഖ്യ കൊടുത്താലും ഒരു ഉത്തരം കിട്ടും. (0 എന്നു കൊടുത്താല്‍ 12 മണി തന്നെ.) 1 എന്ന വില കൊടുത്താല്‍

   മിനിട്ട് = 1 മണിക്കൂര്‍ 5 മിനിട്ട് 27.272727… സെക്കന്റ് എന്നു കിട്ടും.

   ഇതാണു കണക്കു കൂടുതല്‍ പഠിച്ചാലുള്ള ഒരു കുഴപ്പം. എല്ലാം സങ്കീര്‍ണ്ണമായേ അവര്‍ക്കു ചെയ്യാന്‍ പറ്റുകയുള്ളൂ! എത്ര പശുക്കളുണ്ടെന്നു കണ്ടുപിടിക്കാന്‍ അവര്‍ മൊത്തം കാലുകള്‍ എണ്ണിനോക്കിയിട്ടു നാലു കൊണ്ടു ഹരിച്ചു് ഉത്തരം കണ്ടുപിടിക്കും 🙂

2. വളരെയധികം സമര്‍ത്ഥയും അതിലേറെ മടിച്ചിയും എന്തു പ്രശ്നം കിട്ടിയാലും അതു മാത്രം ചെയ്യാനുള്ള ഏറ്റവും എളുപ്പമുള്ള വഴിയുടെ പുറകേ പോകുന്നവളുമായ ഒരു സുഹൃത്തിനോടു ചോദിച്ചപ്പോള്‍ അവള്‍ ഇങ്ങനെ ചെയ്തു.
   

   1:05-നു ശേഷമാണല്ലോ ഇതുണ്ടാകുന്നതു്. ഇതു് 1:05 കഴിഞ്ഞു് മിനിട്ടു കഴിഞ്ഞു സംഭവിക്കുന്നു എന്നു കരുതുക. മിനിട്ടു സൂചിയ്ക്കു് മണിക്കൂര്‍ സൂചിയുടെ പന്ത്രണ്ടിരട്ടി വേഗതയുണ്ടു്. അതുകൊണ്ടു്
   

   മിനിട്ട് = 27.272727… സെക്കന്റ്.

   1:05-നു ശേഷം 27.272727… സെക്കന്റ് കഴിഞ്ഞാല്‍ ഇതു സംഭവിക്കും.

   ആള്‍ജിബ്ര ഉപയോഗിച്ചു വളരെ ലളിതമായ ഒരു നിര്‍ദ്ധാരണം. ഇങ്ങിനെയാവും ഹൈസ്കൂള്‍ വിദ്യാഭ്യാസമുള്ള, എന്നാല്‍ അധികം കണക്കു പഠിക്കാത്ത, അധികം പേരും ചെയ്യുന്നതു്.

3. ഇതു ചെയ്യാന്‍ ആള്‍ജിബ്രയും വേണ്ട എന്നതാണു വസ്തുത. ആറാം ക്ലാസ്സില്‍ പഠിക്കുമ്പോള്‍ ഞാന്‍ ഇതു സോള്‍വു ചെയ്തതു്:
   

   12 മണി കഴിഞ്ഞാല്‍ പിന്നെ 1:05 കഴിഞ്ഞു് ഇതു സംഭവിക്കും. പിന്നെ 2:10+, പിന്നെ 3:15+, 4:20+, 5:25+, 6:30+, 7:35+, 8:40+, 9:45+, 10:50+, 11:55+ എന്നീ സമയങ്ങളിലും സംഭവിക്കും. ഇതില്‍ 11:55+ എന്നതു് അടുത്ത 12 മണി തന്നെയാണു്. അതായതു്, 12 മണിക്കൂറിനിടയില്‍ ഇതു 11 തവണ ഉണ്ടാകും. അതിനാല്‍ ഒരു തവണ ഉള്ള സമയം = മിനിട്ട് = 1 മണിക്കൂര്‍ 5 മിനിട്ട് 27.272727… സെക്കന്റ്.

എങ്ങനെ ചെയ്താലും ഒരേ ഉത്തരം. ഇതാണല്ലോ ഗണിതത്തിന്റെ ഒരു മഹത്ത്വം!

പന്ത്രണ്ടു മണിക്കു് മണിക്കൂര്‍ സൂചിയും മിനിട്ടു സൂചിയും ഒരേ ദിശയിലേക്കു ചൂണ്ടിയിരിക്കുമെന്നറിയാമല്ലോ. അതു കഴിഞ്ഞു് എത്ര സമയം കഴിഞ്ഞാല്‍ അതേ സ്ഥിതി വരും?

1:05-നും 1:10-നും ഇടയ്ക്കാണെന്നറിയാം. കൃത്യമായി എത്ര സമയം എന്നു പറയണം. (സെക്കന്റ് സൂചി പരിഗണിക്കേണ്ട).

ഇതില്‍ ഇനി കമന്റുകള്‍ അനുവദിച്ചിട്ടില്ല. ഉത്തരം ഇവിടെ.

ബുദ്ധിപരീക്ഷകള്‍ക്കൊരു ബ്ലോഗ് തുടങ്ങുകയാണു്.

“പരീക്ഷ” എന്നൊക്കെ ശീര്‍ഷകത്തിലുണ്ടെങ്കിലും ഇതൊരു മത്സരമല്ല. വെറുതേ ചോദ്യങ്ങളും ഉത്തരങ്ങളും കൊടുക്കുന്നതിനു പകരം, യുക്തി ഉപയോഗിച്ചു് എങ്ങനെ ഉത്തരത്തിലെത്താം എന്നുള്ള വിശദീകരണവും ചേര്‍ക്കണം എന്നാണു് ഒരു പ്രധാന ഉദ്ദേശ്യം.

ഒരു ഉത്തരം കിട്ടിയാല്‍ ഒരു പോസ്റ്റ് അടച്ചുപൂട്ടുന്നില്ല. ചില ചോദ്യങ്ങള്‍ക്കു് ഒന്നില്‍കൂടുതല്‍ ഉത്തരങ്ങളുണ്ടാവാം. ചില ഉത്തരങ്ങള്‍ ഒരു പക്ഷേ ഇതു വരെ ആരും കണ്ടുപിടിക്കാത്തതാവാം. ചിലപ്പോള്‍ പ്രസിദ്ധമായ ഉത്തരങ്ങളെക്കാള്‍ സരളമായവ ആരെങ്കിലും കണ്ടുപിടിച്ചേക്കാം.

ഇവയൊക്കെ സമാഹരിച്ചു് ഒരു റെഫറന്‍സായി സൂക്ഷിക്കുക എന്നതാണു് ഈ ബ്ലോഗിന്റെ ലക്ഷ്യം. ഇതിലെ ഓരോ പോസ്റ്റും വീണ്ടും വീണ്ടും മാറ്റങ്ങള്‍ വന്നുകൊണ്ടിരിക്കുന്നതായിരിക്കും.

ബ്ലോഗിന്റെ ഈ സ്വഭാവത്തോടൊപ്പം, പ്രശ്നങ്ങള്‍ നിര്‍ദ്ധരിക്കാനുള്ള ആളുകളുടെ അഭിരുചിയെ വര്‍ദ്ധിപ്പിക്കാന്‍ താഴെപ്പറയുന്ന കാര്യങ്ങള്‍ കൂടി ചെയ്യുന്നു.

1. എല്ലാ കമന്റുകളും moderated ആയിരിക്കും. എന്റെയോ മറ്റേതെങ്കിലും മോഡരേറ്റരുടെയോ അംഗീകാരത്തിനു ശേഷമേ കമന്റുകള്‍ സാമാന്യജനത്തിനു കാണാന്‍ സാധിക്കുകയുള്ളൂ. അതിനാല്‍ കമന്റുകള്‍ ഉടനേ കാണാന്‍ പറ്റില്ല. ദയവായി ഒന്നില്‍ക്കൂടുതല്‍ തവണ ഒന്നു തന്നെ ഇടാതിരിക്കുക.

   നേരത്തെ ഇട്ട കമന്റുകള്‍ മാറ്റണമെങ്കിലും ഒരു കമന്റിട്ടാല്‍ മതി.

2. ഓരോ പ്രശ്നത്തിനും ആദ്യം ചോദ്യം മാത്രമായി ഒരു പോസ്റ്റുണ്ടാവും. ഉത്തരം പറയാതെ ആ പോസ്റ്റ് ഒരാഴ്ചയെങ്കിലും ഉണ്ടായിരിക്കും.
3. ഈ ഒരാഴ്ച (സമയപരിമിതിയനുസരിച്ചു് ഇതു കൂടാം.) വായനക്കാര്‍ക്കു് ഉത്തരങ്ങള്‍ കമന്റുകളായി ഇടാം. കഴിയുമെങ്കില്‍ എങ്ങനെ ഉത്തരം കണ്ടുപിടിക്കാം എന്നു വിശദമായി എഴുതുക.
4. ഉത്തരം മറ്റൊരു പോസ്റ്റായി പ്രസിദ്ധീകരിക്കും. പല ഉത്തരങ്ങളും ഉത്തരത്തിലെത്തിച്ചേരാന്‍ പല വഴികളുമുണ്ടെങ്കില്‍ അവയും പ്രസിദ്ധീകരിക്കും. പ്രസിദ്ധീകരണയോഗ്യമായ ഫലിതം കലര്‍ന്ന ഉത്തരങ്ങളും പ്രസിദ്ധീകരിക്കും. ഉത്തരങ്ങള്‍ അയച്ചവരുടെ പേരുകളും ഉണ്ടാവും. ആര്‍ക്കും സമ്മാനമൊന്നും കൊടുക്കുന്നതല്ല.

ഗുരുകുലത്തില്‍ ഇതിനെപ്പറ്റി പറഞ്ഞു് ഇട്ടിരുന്ന പോസ്റ്റില്‍ ചോദിച്ച രണ്ടു ചോദ്യങ്ങളുടെ ഉത്തരങ്ങളും പ്രസിദ്ധീകരിച്ചിട്ടുണ്ടു്.

• ഒന്നിച്ചു വരുന്ന സൂചികള്‍
• മൂന്നു പെട്ടികളും ലേബലും

പുതിയതായി രണ്ടു പ്രശ്നങ്ങള്‍ നിങ്ങള്‍ക്കു ചെയ്യാനായി പ്രസിദ്ധീകരിച്ചിട്ടുമുണ്ടു്.

സൈഡ്‌ബാറിലെ “പുതിയ ചോദ്യങ്ങള്‍” എന്ന ലിങ്കില്‍ പോയാല്‍ നിങ്ങള്‍ക്കു് ഉത്തരമയയ്ക്കാവുന്ന ചോദ്യങ്ങള്‍ വായിക്കാം. ഒന്നോ രണ്ടോ മാത്രമേ കാണുകയുള്ളൂ ഒരു സമയം.

“പഴയ ചോദ്യങ്ങള്‍” എന്ന ലിങ്കില്‍ പോയാല്‍ മുമ്പു പ്രസിദ്ധീകരിച്ച ചോദ്യങ്ങള്‍ വായിക്കാം. ഉത്തരം കാണാതെ പ്രശ്നങ്ങള്‍ നിര്‍ദ്ധരിക്കാന്‍ ആഗ്രഹമുള്ളവര്‍ക്കു് അവിടെ പോകാം.

“പഴയ ഉത്തരങ്ങള്‍” എന്ന ലിങ്കില്‍ പോയാല്‍ മുമ്പു പ്രസിദ്ധീകരിച്ച പ്രശ്നങ്ങളുടെ ഉത്തരങ്ങള്‍ വായിക്കാം.

വിഷയമനുസരിച്ചു പഴയ പ്രശ്നങ്ങളെ പല വിഭാഗങ്ങളാക്കിയിട്ടുണ്ടു്. പ്രശ്നങ്ങളെ വിഭാഗമനുസരിച്ചു വായിക്കാന്‍ “All posts-categorywise” എന്ന ലിങ്കു സന്ദര്‍ശിക്കുക.