1. ഒന്നിച്ചു വരുന്ന സൂചികള്‍ (A)

ചോദ്യം:

ചോദ്യം ഇവിടെ.

ഉത്തരം:

  1. ഗണിതശാസ്ത്രത്തില്‍ വളരെയധികം വിവരവും വിദ്യാഭ്യാസവുമുള്ള ഒരു സുഹൃത്തിനോടു് (അദ്ദേഹത്തിനു് ഇപ്പോള്‍ ഒരു Ph. D. ഉണ്ടു്) ഈ ചോദ്യം ചോദിച്ചപ്പോള്‍ അദ്ദേഹം ഇങ്ങനെ സോള്‍‌വു ചെയ്തു:

    മിനിറ്റു സൂചിയുടെ ആംഗുലര്‍ വെലോസിറ്റി = radians/minute

    മണിക്കൂര്‍ സൂചിയുടെ ആംഗുലര്‍ വെലോസിറ്റി = radians/minute

    t മിനിട്ടു കഴിഞ്ഞാല്‍ അവ രണ്ടും ഒരു ദിശയിലാവും എന്നു വിചാരിക്കുക. അപ്പോള്‍

    രണ്ടു വശത്തെയും കൊണ്ടു ഗുണിച്ചാല്‍

    അതായതു്,

    ഇതു് അതിന്റെ സാമാന്യമായ ഉത്തരമാണു്. n-നു് ഏതു പൂര്‍ണ്ണസംഖ്യ കൊടുത്താലും ഒരു ഉത്തരം കിട്ടും. (0 എന്നു കൊടുത്താല്‍ 12 മണി തന്നെ.) 1 എന്ന വില കൊടുത്താല്‍

    മിനിട്ട് = 1 മണിക്കൂര്‍ 5 മിനിട്ട് 27.272727… സെക്കന്റ് എന്നു കിട്ടും.

    ഇതാണു കണക്കു കൂടുതല്‍ പഠിച്ചാലുള്ള ഒരു കുഴപ്പം. എല്ലാം സങ്കീര്‍ണ്ണമായേ അവര്‍ക്കു ചെയ്യാന്‍ പറ്റുകയുള്ളൂ! എത്ര പശുക്കളുണ്ടെന്നു കണ്ടുപിടിക്കാന്‍ അവര്‍ മൊത്തം കാലുകള്‍ എണ്ണിനോക്കിയിട്ടു നാലു കൊണ്ടു ഹരിച്ചു് ഉത്തരം കണ്ടുപിടിക്കും :)

  2. വളരെയധികം സമര്‍ത്ഥയും അതിലേറെ മടിച്ചിയും എന്തു പ്രശ്നം കിട്ടിയാലും അതു മാത്രം ചെയ്യാനുള്ള ഏറ്റവും എളുപ്പമുള്ള വഴിയുടെ പുറകേ പോകുന്നവളുമായ ഒരു സുഹൃത്തിനോടു ചോദിച്ചപ്പോള്‍ അവള്‍ ഇങ്ങനെ ചെയ്തു.

    1:05-നു ശേഷമാണല്ലോ ഇതുണ്ടാകുന്നതു്. ഇതു് 1:05 കഴിഞ്ഞു് മിനിട്ടു കഴിഞ്ഞു സംഭവിക്കുന്നു എന്നു കരുതുക. മിനിട്ടു സൂചിയ്ക്കു് മണിക്കൂര്‍ സൂചിയുടെ പന്ത്രണ്ടിരട്ടി വേഗതയുണ്ടു്. അതുകൊണ്ടു്

    മിനിട്ട് = 27.272727… സെക്കന്റ്.

    1:05-നു ശേഷം 27.272727… സെക്കന്റ് കഴിഞ്ഞാല്‍ ഇതു സംഭവിക്കും.

    ആള്‍ജിബ്ര ഉപയോഗിച്ചു വളരെ ലളിതമായ ഒരു നിര്‍ദ്ധാരണം. ഇങ്ങിനെയാവും ഹൈസ്കൂള്‍ വിദ്യാഭ്യാസമുള്ള, എന്നാല്‍ അധികം കണക്കു പഠിക്കാത്ത, അധികം പേരും ചെയ്യുന്നതു്.

  3. ഇതു ചെയ്യാന്‍ ആള്‍ജിബ്രയും വേണ്ട എന്നതാണു വസ്തുത. ആറാം ക്ലാസ്സില്‍ പഠിക്കുമ്പോള്‍ ഞാന്‍ ഇതു സോള്‍വു ചെയ്തതു്:

    12 മണി കഴിഞ്ഞാല്‍ പിന്നെ 1:05 കഴിഞ്ഞു് ഇതു സംഭവിക്കും. പിന്നെ 2:10+, പിന്നെ 3:15+, 4:20+, 5:25+, 6:30+, 7:35+, 8:40+, 9:45+, 10:50+, 11:55+ എന്നീ സമയങ്ങളിലും സംഭവിക്കും. ഇതില്‍ 11:55+ എന്നതു് അടുത്ത 12 മണി തന്നെയാണു്. അതായതു്, 12 മണിക്കൂറിനിടയില്‍ ഇതു 11 തവണ ഉണ്ടാകും. അതിനാല്‍ ഒരു തവണ ഉള്ള സമയം = മിനിട്ട് = 1 മണിക്കൂര്‍ 5 മിനിട്ട് 27.272727… സെക്കന്റ്.

എങ്ങനെ ചെയ്താലും ഒരേ ഉത്തരം. ഇതാണല്ലോ ഗണിതത്തിന്റെ ഒരു മഹത്ത്വം!