എടത്താടന് മുത്തപ്പനും ചെക്കിലെ തെറ്റും എന്ന ചോദ്യത്തിന്റെ വിശകലം വിചാരിച്ചതില് കൂടുതല് സങ്കീര്ണ്ണമായി. അതിനാല് അതു് അടുത്ത പ്രശ്നമായി ഇടുന്നു.
ചുരുക്കിപ്പറഞ്ഞാല്,
- ഞാന് ഒരു ചെക്കെഴുതി. രൂപയും പൈസയും 100-ല് കുറവു്.
- വിശാലന് രൂപയെ പൈസയായും പൈസയെ രൂപയായും കരുതി ഒരു തുക എനിക്കു തന്നു.
- ഞാന് അതില് നിന്നു കുറേ പണം മുത്തപ്പന്റെ ഭണ്ഡാരത്തില് സംഭാവനയായിട്ടു.
- ബാക്കി വന്ന പണം ഞാന് ചോദിച്ച തുകയുടെ കൃത്യം ഇരട്ടിയായിരുന്നു.
ഇതിന്റെ എല്ലാ ഉത്തരങ്ങളും കണ്ടുപിടിക്കുക. അതായതു്,
- ഏതൊക്കെ സംഭാവനകള് ഇവിടെ സാദ്ധ്യമാണു്?
- ഓരോ സംഭാവന അനുസരിച്ചുള്ള ചെക്കിലെ തുക എന്തായിരിക്കും?
- ഇതിനു് സാമാന്യമായ നിയമങ്ങള് ഉണ്ടാക്കാന് സാധിക്കുമോ?
ഉപരിഗണിതമോ കമ്പ്യൂട്ടര് ഉപയോഗിച്ചോ ഉത്തരം കണ്ടുപിടിക്കുക. കൂടുതല് വിവരങ്ങള്ക്കു് ഈ ചോദ്യവും ഈ വിശകലനവും കാണുക.
ഉമേഷ്::Umesh | 11-Oct-06 at 8:32 pm | Permalink
കഴിഞ്ഞ പ്രശ്നത്തിന്റെ ചില സാമാന്യനിയമങ്ങള് ചര്ച്ച ചെയ്യാന് പുതിയ ഒരു പ്രശ്നം.
സന്തോഷ് | 11-Oct-06 at 11:31 pm | Permalink
ചെക്കെഴുതിക്കിട്ടിയ അത്രത്തോളം തന്നെ സംഭാവന നല്കാമെങ്കില് ഒരുപാട് ഉത്തരങ്ങള് ഉണ്ടല്ലോ.
2r+99 എന്നതിലും ഒരുത്തരമുണ്ട്: കിട്ടാനുള്ളത്: 0.99, കിട്ടിയത്: 99.00. ഭണ്ഡാരത്തില് തിരിച്ചിട്ടത്: 97.02.
രൂപയും പൈസയും 100-ല് താഴെ, കിട്ടിയ അത്രത്തോളം സംഭാവന കൊടുക്കാം എന്നിവ ഒത്തു വരുന്ന 2483 ഉത്തരങ്ങള് എങ്കിലും ഉണ്ട് [എഴുതിയ പ്രോഗ്രാമിലെ തെറ്റും കൂടി കണക്കാക്കണമല്ലോ:)]
സിബു | 12-Oct-06 at 6:09 am | Permalink
ഉത്തരം കണ്ടുപിടിക്കുന്നതിലും പാട് അത് വൃത്തിയായി എഴുതിപ്പിടിപ്പിക്കാനാണ്. 🙁
പതിവുപോലെ, r ചെക്കിലെ രൂപയും p ചെക്കിലെ പൈസയും f ഭണ്ഡാരത്തിലിട്ട പൈസയും ആണെങ്കില്,
2(100r + p) = 100p + r – f
eqA: p = 2r+z എന്നെടുത്താല്
eqB: 98z = 3r + f
ഇതിനെ r = 99z/3 – (z+f)/3 എന്നെഴുതിയാല്, r ഒരു പൂര്ണ്ണ സംഖ്യയും ആയതിനാല്
eqD: z+f = 0 (mod3)
p <= 99 ആയതുകൊണ്ട് eqB-ല് നിന്നും r കണ്ടുപിടിച്ച് eqA-ല് കൊടുത്താല് z <= 1.5 + f/100 (ഏതാണ്ട്) എന്നുകിട്ടും അതുപോലെ, r >= 0 ആയതിനാല് eqB ല് നിന്നും
f/100 <= z എന്നും കിട്ടും. അതായത്, eqC: f/100 <= z <= 1.5 + f/100 - ഇതാണ് നമ്മുടെ വാദങ്ങള്ക്ക് ജീവനാഡിയായ ഒരു അസമവാക്യം(?). f, z എന്നിവകിട്ടിയാല് r,p എന്നിവ കണ്ടുപിടിക്കാം(eqA, eqB) എന്നുള്ളതുകൊണ്ട്, ഇനി f,z എന്നിവയെ പറ്റിയേ ആലോചിക്കേണ്ടതുള്ളൂ. ഓരോ f-നും എന്തായിരിക്കും z എന്നാണാലോചന. ഒരു നിശ്ചിത f-ന് z-ടെ റേഞ്ച് വെറും 1.5 ആയതിനാല് തൊട്ടടുത്ത രണ്ട് എണ്ണല് സംഖ്യകളേ z ക്ക് ഉത്തരമാവൂ. എന്നാല് തൊട്ടടുത്ത രണ്ട് എണ്ണല് സംഖ്യകള്ക്ക് eqD ശരിയാവാത്തതിനാല് ഒരു നിശ്ചിത f-ന് ഒരു z-യേ ഉത്തരമുള്ളൂ. ഇനി ഏതൊക്കെ f-നാണ് ഒരു ഉത്തരമെങ്കിലും ശരിക്കുള്ളത് എന്ന് നോക്കാം. f = 0 ആവുമ്പോള് 0 <= z <= 1. eqD വച്ച് z = 0. r = 0; p = 0. അതായത്, ഭണ്ഡാരത്തില് എന്തെങ്കിലുമിട്ടില്ലിങ്കില് മുത്തപ്പന് കനിയില്ല! f = 1..49 വരെ 1<= z <= 1. അതായത് z = 1. eqD വച്ച് f = 2, 5, 8, .. 3k+2 ..47 എന്നിങ്ങനെയേ ഉത്തരമുള്ളൂ f=50..100 വരെ z = 1 or 2. eqD വച്ച് f = 50, 52, 53, .. 3k+1, 3k+2.. 98 എന്നിങ്ങനെ ഉത്തരം ഉണ്ട്. f = 101..149 വരെ z = 2. f = 3k+1 f = 150..200 വരെ z = 2 or 3. f = 3k+1 or 3k ഇങ്ങനെ ഓരോ അമ്പത് കൂടുമ്പോഴും സ്വഭാവം മാറി മാറി ഇതിങ്ങനെ പോകുന്നു. ഇനി എത്രവരെ ഇങ്ങനെ പോകും എന്ന് നോക്കാം. 0<= r; p <=99 ആയതുകൊണ്ട്, eqA വച്ച്, z <= 99. eqB വച്ച്, f <= 98 * 99 = 9702. (z=99, f=9702) എന്നത് eqD അനുസരിക്കുന്നതിനാല് അത് തന്നെ അവസാന ഉത്തരം. അതായത് ചെക്കിലെഴുതിയത് 00.99. കണ്ടാരമുത്തപ്പന്റെ ഭണ്ഡാരം നിറച്ച് (97.02) ഉമേഷ് നേര്ച്ചയിട്ടു. ഹാവൂ.
Appol Shari | 12-Oct-06 at 9:03 am | Permalink
സന്തോഷ് , പ്രോഗ്രാം എഴുതിയപ്പൊള് എനിക്കും ഇതേ ഉത്തരം കിട്ടി.
Umesh::ഉമേഷ് | 12-Oct-06 at 1:41 pm | Permalink
സിബുവിന്റെ കമന്റ് പകുതിയില് വെച്ചു മുറിഞ്ഞുപോയിരുന്നു. മുഴുവനും ഇട്ടിട്ടുണ്ടു്. പിന്മൊഴിയില് ഉണ്ടാവില്ല. പോസ്റ്റില് ഉണ്ടാവും.
കരീം മാഷ് | 12-Oct-06 at 3:28 pm | Permalink
ഈ ചെക്കു പ്രശ്നത്തിന്റെ പരിഹാരം കമ്പ്യൂട്ടര് ഉപയോഗിക്കാതെ ചെയ്തവരെ അഭിനന്ദിക്കാന് എനിക്കു വാക്കുകള് പോരാ!
ഞാന് ഊന്നിപ്പറയുന്നു
“പേനയും കടലാസും മണ്ടയും മാത്രം ഉപയോഗിച്ച്“
കാണട്ടെ നിങ്ങളിലെ സത്യത്തിന്റെ അംശം?
വെല്ലുവിളിയല്ല. (ഒരു പരാജിതന്റെ ഇളിഞ്ഞ ന്യായീകരണം).
word worry? : getting old
ശേഷു | 28-Mar-10 at 10:43 pm | Permalink
1 മുതൽ 25 വരെയുള്ള രൂപകൾക്കും ചില്ലറകൾക്കും
ആകെ മൊത്തം 25+(1+1+2+2+3+3+…+12+12) = 25+ 2*(6*13) = 156+25 = 171 വഴികൾ…
25 മുതൽ 50 വരെയുള്ള രൂപകൾക്കും ചില്ലറകൾക്കും
ആകെ മൊത്തം 25 +(13+13+14+14+…25+25) – [25+(2+4+6+8+…+16)] = 25+ 13*(38) – [25 + 4*(18)] = 494+25 – 25 – 72 = 422 വഴികൾ
50 മുതൽ അങ്ങോട്ട് ഉള്ള രൂപകൾക്കോ ചില്ലറകൾക്കോ ഈ കണക്ക് ബാധകമല്ല…
അപ്പൊ ആകെ മൊത്തം ടോട്ടലായി 422+171 = 593 വഴികളിലൂടെ ഈ പ്രശ്നം പരിഹരിക്കാം…. ശെരിയാണോ…?
ശേഷു | 29-Mar-10 at 7:33 am | Permalink
രണ്ടാമതു പറഞ്ഞ കാര്യത്തിൽ ഒരു തെറ്റുണ്ട്..
25 മുതൽ 34 വരെയുള്ള രൂപകൾക്കും ചില്ലറകൾക്കുമേ ഈ കണക്ക് ബാധകമാകുകയുള്ളൂ…
അപ്പോൾ ആകെ മൊത്തം 8+(13+13+14+14+….16+16+17) – [8+(2+4+6+8+…+16)] = 8+(4*29)+17 – (8 + 72) = 116+17-72 = 61
പഴയതുപോലെതന്നെ 50 മുതൽ അങ്ങോട്ട് ഉള്ള രൂപകൾക്കോ ചില്ലറകൾക്കോ ഈ കണക്ക് ബാധകമല്ല…
അപ്പോൾ ആകെ മൊത്തംടോട്ടലായി 171 + 61 = 232 വഴികളിലൂടെ ഈ പ്രശ്നം പരിഹരിക്കാം…. ശരിയാണോ…?
ശേഷു | 29-Mar-10 at 10:15 am | Permalink
ചില കമ്മെന്റ്സിൽ പറഞ്ഞപോലെ 0.99 ഇന്റെ കണക്ക് എങ്ങനെ ശരിയാകും എന്നു മനസ്സിലായില്ല..
0.99 എന്ന രൂപക്ക്, 99രൂപയും 0 പൈസയും തിരിച് കൊടുക്കണമല്ലോ…
0 പൈസ പ്രാക്റ്റിക്കൽ ആയി ഇല്ലല്ലോ….