4. എടത്താടന്‍ മുത്തപ്പനും ചെക്കിലെ പിശകും (A)

ചോദ്യം:

ചോദ്യം ഇവിടെ.

ഉത്തരം:

വിശാലമനസ്കന്‍ എന്ന ഗ്ലാമര്‍ താരത്തെപ്പറ്റി പറഞ്ഞതു കൊണ്ടാണോ, മുത്തപ്പന്റെ അനുഗ്രഹം കൊണ്ടാണോ, അതോ നല്ല പ്രശ്നമായതുകൊണ്ടാണോ എന്തോ, വളരെയധികം കമന്റുകള്‍ കിട്ടി.

ഉത്തരമയച്ചവര്‍ക്കെല്ലാം ശരിയുത്തരവും കിട്ടി: 31 രൂപ 63 പൈസ.

ഈ തുക ഞാന്‍ ചോദിച്ചപ്പോള്‍ വിശാലന്‍ 63 രൂപ 31 പൈസ തന്നു. അഞ്ചു പൈസ ഭണ്ഡാരത്തിലിട്ടു കഴിഞ്ഞപ്പോള്‍ ബാക്കി 63 രൂപ 26 പൈസ. ഇതു 31.63-ന്റെ കൃത്യം ഇരട്ടി!

ഇനി എങ്ങനെ ഇതു കണ്ടുപിടിക്കും എന്നു നോക്കാം. ലളിതമായ രീതികള്‍ ആദ്യവും കൂടുതല്‍ ഗഹനമായവ പിന്നീടും.

ബീജഗണിതം ഉപയോഗിച്ചു് കൊടുത്ത ചെക്കിലെ തുക r രൂപയും p പൈസയും എന്നു സങ്കല്പിച്ചാല്‍,

എന്നെഴുതാം. ഇതിനെ സരളമാക്കിയാല്‍

എന്നു കിട്ടും.


(1) എന്ന സമവാക്യത്തില്‍ രണ്ടു ചരങ്ങള്‍ (variables) ഉണ്ടു്. ഒരു സമവാക്യവും. ഇതു നിര്‍ദ്ധരിക്കാന്‍ രണ്ടു കുഴപ്പമുണ്ടു്.

  1. ഇതിനു് അനന്തം ഉത്തരങ്ങളുണ്ടു്. ഒരു ചരത്തിനു് ഒരു നിശ്ചിതവില കൊടുത്താല്‍ മറ്റേതു് അതില്‍ നിന്നു കണ്ടുപിടിക്കാം.
  2. എല്ലാ വിലകളും ഈ പ്രശ്നത്തില്‍ ശരിയാവില്ല. ഉദാഹരണമായി, r=10 എന്നു കൊടുത്താല്‍ p=(1995/98) എന്നു കിട്ടും.

    r, p എന്നിവ പൂര്‍ണ്ണസംഖ്യകളായിരിക്കണം. ഈ പ്രശ്നത്തില്‍ അവ 0-ത്തിനും 99-നും ഇടയ്ക്കുള്ള (രണ്ടും ഉള്‍പ്പെടെ) പൂര്‍ണ്ണസംഖ്യയായിരിക്കണം.

ഇതിനെ indeterminate integer equation എന്നു വിളിക്കുന്നു. തന്നിട്ടുള്ള സമവാക്യങ്ങള്‍ കൊണ്ടു് പൂര്‍ണ്ണമായി നിര്‍ദ്ധരിക്കാന്‍ പറ്റാത്ത സമവാക്യമാണു് indeterminate equation. പൂര്‍ണ്ണസംഖ്യകള്‍ മാത്രം മൂല്യമായി വരുന്നവ integer equation-ഉം.

ഡയഫാന്റസിന്റെ പേരിലാണു് ഇത്തരം സമവാക്യങ്ങള്‍ അറിയപ്പെടുന്നതു്. എങ്കിലും ഇവയില്‍ പലതും മറ്റു പല ഗണിതജ്ഞരും നിര്‍ദ്ധരിച്ചിരുന്നു-ഭാരതത്തിലെ ബ്രഹ്മഗുപ്തനും ഭാസ്കരനും ഉള്‍പ്പെടെ.

താഴെക്കൊടുത്തിരിക്കുന്ന തിയറി പൂര്‍ണ്ണമായി ആവിഷ്കരിക്കപ്പെടുന്നതു് 18, 19 നൂറ്റാണ്ടുകളിലാണു്. ലെഗ്രാന്‍‌ജെ, ഓയ്‌ലര്‍, ഗോസ് എന്നിവരാണു് ഇതിലെ ഭൂരിഭാഗം കാര്യങ്ങളും കണ്ടുപിടിച്ചതു്.


ഈ linear integer equation-ഉം അനന്തം ഉത്തരങ്ങള്‍ ഉണ്ടു്. നമുക്കു് r = R, p = P എന്നൊരു ഉത്തരം കിട്ടിയാല്‍

(1) എന്ന സമവാക്യത്തിനെ ഇങ്ങനെ എഴുതാം.

ഇതിനു് ഇത്രയേ അര്‍ത്ഥമുള്ളൂ-98p-യെ 199 കൊണ്ടു ഹരിച്ചാല്‍ ശിഷ്ടം 5 കിട്ടണം. ഇങ്ങനെയുള്ള p കണ്ടുപിടിക്കുക. (p കിട്ടിയാല്‍ r കണ്ടുപിടിക്കാന്‍ ബുദ്ധിമുട്ടില്ലല്ലോ.)

ഇവിടെ p=0, 1, 2, …, 198 എന്നീ മൂല്യങ്ങള്‍ കൊടുത്താല്‍ ശിഷ്ടങ്ങള്‍ 0, 1, 2, …, 198 എന്നിവ കിട്ടും-ആ ക്രമത്തിലല്ലെന്നു മാത്രം. മറ്റൊരു വിധത്തില്‍ ‍പറഞ്ഞാല്‍, p=0, 1, 2, …, 198 എന്നീ മൂല്യങ്ങളില്‍ കൃത്യം ഒരെണ്ണം 5 ശിഷ്ടം തരും.

ഇതു പണിയായല്ലോ. ആരെക്കൊണ്ടു കഴിയും 199 തവണ ഇതു ചെയ്തുനോക്കാന്‍? വേറേ വഴി വല്ലതുമുണ്ടോ?

ഉണ്ടല്ലോ. ഇങ്ങനെയുമെഴുതാം.

98 കൊണ്ടു ഹരിക്കുമ്പോള്‍ -5 ശിഷ്ടം കിട്ടുന്നതും 93 കിട്ടുന്നതും ഒന്നു തന്നെയായതു കൊണ്ടു് ഇതിനെ

എന്നെഴുതാം. മുമ്പു പറഞ്ഞ തിയറി അനുസരിച്ചു് r=0, 1, 2, …, 97 എന്നീ വിലകള്‍ കൊടുത്താല്‍ കൃത്യം ഒരെണ്ണം 93 ശിഷ്ടം തരും.

199 തവണ എന്നുള്ളതു 98 ആയി. പക്ഷേ അതു പോരല്ലോ. ഇനിയും നന്നാക്കാന്‍ പറ്റുമോ?

ആലോചിച്ചാല്‍, p എന്നതു് r-ന്റെ ഇരട്ടിയോടു വളരെ അടുത്തു നില്‍ക്കുന്ന സംഖ്യയാണെന്നു കാണാം. ആ സംഖ്യ വളരെ ചെറുതാകാന്‍ സാദ്ധ്യതയുണ്ടു്. നമുക്കു് p = 2r + z എന്നു കൊടുക്കാം. അപ്പോള്‍ (1) എന്ന സമവാക്യം

എന്നായി മാറും. അതായതു്

അഥവാ,

(3 കൊണ്ടു ഹരിച്ചാല്‍ 5 ശിഷ്ടം വരിക എന്നു പറഞ്ഞാല്‍ ഒരു മൂന്നും കൂടി എടുത്തിട്ടു് ശിഷ്ടം 2 എന്നു പറയാമല്ലോ.)

ഇതു വളരെ ഭേദമാണു്. r=0, 1, 2 എന്നീ മൂന്നു വിലകള്‍ മാത്രം നോക്കിയാല്‍ മതി. അതിലൊന്നിനെ 3 കൊണ്ടു ഹരിച്ചാല്‍ 2 ശിഷ്ടം കിട്ടും.

r=0, 1, 2 എന്നിവ ആയാല്‍ 3 കൊണ്ടു ഹരിച്ച ശിഷ്ടം യഥാക്രമം 0, 2, 1 എന്നിവ ആണെന്നു കാണാം. അപ്പോള്‍ നമ്മുടെ ഉത്തരം z = 1.

അപ്പോള്‍,

സിബുവാണു് ഈ പ്രശ്നം പൂര്‍ണ്ണമായി സോള്‍‌വു ചെയ്ത ഒരേയൊരു വ്യക്തി. മാത്രമല്ല, മുകളില്‍ കൊടുത്ത രീതിയെക്കാള്‍ ലളിതമായ ഒരു വഴി കാണിച്ചുതരുകയും ചെയ്തു-congruence theory ഉപയോഗിക്കാതെ തന്നെ.

സിബു (2)-നെ ഇങ്ങനെ എഴുതി.

ഇതിനെ 3 കൊണ്ടു ഹരിച്ചു ചെറിയ സ്ഥാനമാറ്റം നടത്തിയാല്‍,

ഇവിടെ (z-1) മൂന്നിന്റെ ഗുണിതമായാലേ ഏറ്റവും അവസാനത്തെ പദം ഒരു പൂര്‍ണ്ണസംഖ്യയാവൂ.

r ഒരു പോസിറ്റിവ് സംഖ്യയായതിനാല്‍ z > 0 എന്നും കാണാം.

അപ്പോള്‍, z = 3k+1 = 1, 4, 7, ….

z = 1 ആയാല്‍ r = 31, p = 63
z = 4 ആയാല്‍ r = 125. പക്ഷെ, r എന്നത്‌ വിശാലന്‍ പൈസയായി എണ്ണി എന്നതിനാല്‍ r നൂറില്‍ താഴെ ആവണം. അതുകൊണ്ട്‌ d = 4 ശരിയാവില്ല.

അതുകൊണ്ട്‌ ഒരേ ഒരു ഉത്തരം: ചെക്കിലെഴുതിയത്‌ 31.63

സിബു തന്നെ നമ്മുടെ വിജയി.


ഇതിനു വളരെ സാമാന്യമായ ഒരു നിര്‍ദ്ധാരണം ഉണ്ടു്. മുമ്പു കൊടുത്ത രീതിയില്‍ പൈസ രൂപയുടെ ഇരട്ടിയുടെ അടുത്തു നിന്നതു കൊണ്ടാണു് നമുക്കു് എളുപ്പം ചെയ്യാന്‍ പറ്റിയതു്. ഇല്ലെങ്കിലോ?

ഇല്ലെങ്കിലും ഇത്തരം സമവാക്യങ്ങള്‍ നിര്‍ദ്ധരിക്കാനുള്ള വഴികള്‍ ഗണിതജ്ഞര്‍ ആവിഷ്കരിച്ചിട്ടുണ്ടു്. അതനുസരിച്ചു്, (98/199) എന്ന ഭിന്നത്തിനെ ഒരു തുടര്‍‌ഭിന്നം (continued fraction) ആക്കുക.

ഇതിനെ [0;2,32,2] എന്നും എഴുതാം.

ഈ പ്രശ്നം സോള്‍വു ചെയ്യാന്‍ തുടര്‍ഭിന്നത്തിലെ ആദ്യത്തെ സംഖ്യയുള്‍പ്പെടെയുള്ള പദങ്ങളുടെ എണ്ണം ഒരു ഒറ്റസംഖ്യയായിരിക്കണം. ഇവിടെ അതു നാലാണല്ലോ. അതിനു കുഴപ്പമില്ല. അവസാനത്തെ പദത്തെ

എന്നു മാറ്റിയെഴുതിയാല്‍ മതി. അപ്പോള്‍

എന്നു കിട്ടും. ഇനി ഇതിന്റെ അവസാനത്തെ പദം കളഞ്ഞിട്ടു ബാക്കിയുള്ളതിന്റെ മൂല്യം ഒരു ഭിന്നമായി കണ്ടുപിടിക്കുക.

ഇതിന്റെ ഛേദവും (132) അംശവും (65)

എന്ന സമവാക്യത്തിന്റെ നിര്‍ദ്ധാരണം ആയിരിക്കും. അതായതു്, p = 132, r = 65 എന്ന മൂല്യങ്ങള്‍.

നമുക്കു വേണ്ട സമവാക്യത്തിന്റെ നിര്‍ദ്ധാരണം കിട്ടാന്‍ ഇവയെ 5 കൊണ്ടു ഗുണിച്ചാല്‍ മതി. അതായതു്,

(1) എന്ന സമവാക്യത്തില്‍ ഇട്ടുനോക്കിയാല്‍ ഇവ ശരിയാകും എന്നു കാണാം.

പക്ഷേ, നമുക്കിതു പോരല്ലോ. 0-99 എന്ന പരിധിയിലുള്ളതു കണ്ടുപിടിക്കണമല്ലോ. മുകളില്‍ പറഞ്ഞ നിയമം ഉപയോഗിച്ചു് ഇതു കണ്ടുപിടിക്കാം.

ഇതില്‍ k = -3 എന്നിട്ടാല്‍ r = 31, p = 63 എന്നു കിട്ടും.


മുകളില്‍ പറഞ്ഞതനുസരിച്ചു്

അപ്പോള്‍ ശരി എഴുതുന്നു:

വിശാലൻറെ ഈ വീക്ക്നെസ്സ് അറിയാവുന്ന ആരെങ്കിലും129.262 എന്നൊക്കെ ചെക്കിൽ എഴുതിയാൽ ഉമേഷ്ജി പറഞ്ഞ് പോലെ ഒന്നിലധികം ഉത്തരം കിട്ടും. വിശാലൻ മിഡ്ഡിൽ ഈസ്റ്റിലെ ഓർമയിൽ ചിലപ്പൊൾ 262 രൂപ 129 പൈസ തന്നാലോ? അവിടുത്തെ ചില രാജ്യങ്ങളിൽ 1 ദിനാറ് = 1000 ഫില്സ് എന്നൊക്കെ അല്ലെ കണക്ക്?

ഇനി 1 ദിനാര്‍ = 1000 ഫില്‍‌സ് എന്ന കണക്കുള്ള രാജ്യമാണെങ്കിലോ? ചെക്കെഴുതിയിട്ടു് ഞാന്‍ അഞ്ചു ഫില്‍‌സ് ഭണ്ഡാരത്തിലിട്ടു എന്നു കരുതുക. എന്തൊക്കെ ഉത്തരങ്ങളുണ്ടു്?

മുകളില്‍ പറഞ്ഞ രീതികളിലേതെങ്കിലും ഉപയോഗിച്ചു് ഈ പ്രശ്നം പൂര്‍ണ്ണമായി നിര്‍ദ്ധരിക്കാം. സിബുവൊഴികെ നമ്മുടെ വായനക്കാരാരും ഇതു വരെ പോയില്ലെങ്കിലും, ഈ ആശയങ്ങള്‍ തന്നെ ഉപയോഗിച്ചു് ഉത്തരത്തിലെത്തി.

  1. അടിപൊളീസ്, സിദ്ധാര്‍ത്ഥന്‍, ശ്രീജിത്ത്, വല്യമ്മായി എന്നിവര്‍ ഉത്തരം മാത്രമേ തന്നിട്ടുള്ളൂ. ചെയ്ത വിധം തന്നിട്ടില്ല.

    മിക്കവാറും കമ്പ്യൂട്ടര്‍ പ്രോഗ്രാം എഴുതിയായിരിക്കാം ഉത്തരം കണ്ടുപിടിച്ചതു്. അതു പോരല്ലോ.

  2. പുള്ളി (1) എന്ന സമവാക്യത്തില്‍ പല മൂല്യങ്ങള്‍ ഇട്ടു നോക്കി അവസാനം ഉത്തരം കണ്ടുപിടിച്ചു. അതു പോരാ പുള്ളീ, അല്പം കൂടി ആലോചിക്കൂ.
  3. (1) എന്ന സമവാക്യം എല്ലാവര്‍ക്കും കിട്ടി. ഇനി അതുപോലെയുള്ള ഒരു linear equation കൂടി കിട്ടിയാല്‍ സംഗതി എളുപ്പമായി.

    p എന്നതു് r എന്നതിന്റെ ഇരട്ടിയില്‍നിന്നു് അല്പം വലുതാണെന്ന കാര്യം ശ്രദ്ധിച്ചിട്ടു്

    എന്നു സങ്കല്‍പ്പിച്ചു് ഈ രണ്ടു simultaneous equations-ഉം solve ചെയ്താണു് കുട്ട്യേടത്തി, ചാക്കൊച്ചി, അപ്പോള്‍ ശരി, രാധ, ജേക്കബ് എന്നിവര്‍ ഉത്തരം കണ്ടുപിടിച്ചതു്. “ഇട്ടിയമ്മ ചാടിയാല്‍ കൊട്ടിയമ്പലത്തിന്റെ കഷ്ടിച്ചു് ഒരടി കൂടിയേ പോകൂ” എന്നു വിശ്വം പറഞ്ഞതിന്റെ അര്‍ത്ഥവും ഇതു തന്നെ. ഇവരാണു് തൊട്ടടുത്താ സ്ഥാനത്തിനര്‍ഹര്‍.

    പക്ഷേ, വിശ്വം “കഷ്ടിച്ചു് ഒരടി കൂടിയേ” എന്നു പറഞ്ഞതു ശരിയല്ല. ഉദാഹരണത്തിനു്, ഞാന്‍ 5 പൈസയ്ക്കു പകരം 52 പൈസയാണു് ഇട്ടിരുന്നെങ്കില്‍ (എന്റെ സ്വഭാവം നോക്കിയാല്‍ സാദ്ധ്യത വളരെ കുറവു്) മേല്‍പ്പറഞ്ഞതു പോരാ,

    എന്നതു് ഉപയോഗിക്കണം. ഇട്ടിയമ്മ കൊട്ടിയമ്പലത്തിനു രണ്ടു പടി അപ്പുറത്തേക്കും ചാടാം എന്നര്‍ത്ഥം.

    മുകളില്‍ പറഞ്ഞവര്‍ ഈ ഒരു സാദ്ധ്യതയെപ്പറ്റിയും പറഞ്ഞിരുന്നു. ഒന്നു കൂട്ടി കിട്ടിയില്ലെങ്കില്‍ രണ്ടു കൂട്ടി നോക്കും, അതും കിട്ടിയില്ലെങ്കില്‍ മൂന്നു കൂട്ടി നോക്കും എന്നിങ്ങനെ.

    ഉത്തരമുണ്ടെങ്കില്‍ കണ്ടുപിടിക്കാന്‍ മൂന്നു മൂല്യങ്ങള്‍ മാത്രം പരിശോധിച്ചാല്‍ മതി എന്നു് ഉറപ്പാക്കാന്‍ മുകളില്‍ പറഞ്ഞ തിയറി ഉപയോഗിക്കേണ്ടി വരും.

  4. ഓരോരുത്തരും ചെയ്ത രീതികള്‍ കാണാന്‍ ഈ പോസ്റ്റിലെ കമന്റുകള്‍ വായിക്കുക.


എന്തിനാണു് ഈ ചെറിയ പ്രശ്നം ചെയ്യാന്‍ ഇത്ര വലിയ ഗണിതതത്ത്വങ്ങള്‍ ഉപയോഗിക്കുന്നതു്? മൂട്ടയെ കൊല്ലാന്‍ മെഷീന്‍ ഗണ്‍ ഉപയോഗിക്കണോ?

വക്കാരി കുറച്ചു മുമ്പു് ഇത്തരം ഒരു ചോദ്യം ചോദിച്ചിരുന്നു. ഗണിതം കൊണ്ടു് എന്താണൊരു ഗുണം, പരീക്ഷയ്ക്കു മാര്‍ക്കു വാങ്ങുകയല്ലാതെ?

ഗണിതത്തിന്റെ ഗുണം വ്യക്തമാക്കാനാണു് ഇത്രയും എഴുതിയതു്. ഗണിതം ഉപയോഗിച്ചാല്‍ നമുക്കു് ഈ പ്രശ്നം പൂര്‍ണ്ണമായി നിര്‍ദ്ധരിക്കാന്‍ കഴിയുന്നു. മറ്റു രീതികളില്‍ നമുക്കു് ഒരു ഉത്തരം കിട്ടിയേക്കാം. പക്ഷേ, പൂര്‍ണ്ണമായ ഉത്തരം കിട്ടണമെന്നില്ല.

കൂടാതെ സാമാന്യനിര്‍ദ്ധാരണത്തിനും ഗണിതം കൂടിയേ കഴിയൂ.