7. പൊട്ടിയ മാല (A)

ചോദ്യം:

പന്ത്രണ്ടാം നൂറ്റാണ്ടില്‍ ഭാസ്കരാചാര്യര്‍ “ലീലാവതി” (പാടീഗണിതം) എന്ന ഗണിതശാസ്ത്രഗ്രന്ഥത്തില്‍ ചോദിച്ച ഒരു പ്രശ്നമായിരുന്നു ഈ ലക്കത്തില്‍. ചോദ്യം ഇവിടെ.

ഉത്തരം:

30 മുത്തുകള്‍. ഭൂമിയില്‍ 30/3 = 10. കിടക്കയില്‍ 30/5 = 6. പെണ്ണിന്റെ കയ്യില്‍ 30/6 = 5. പുരുഷന്റെ കയ്യില്‍ 30/10 = 3. അങ്ങനെ മൊത്തം വീണുകിട്ടിയതു് 10 + 6 + 5 + 3 = 24. ബാക്കി 6 എണ്ണം ചരടില്‍ത്തന്നെ.


വഴി എഴുതിച്ചെയ്യുന്ന ഇന്നത്തെ മിടുക്കനായ ഒരു കുട്ടി ഇങ്ങനെ ചെയ്യും.

Simple linear algebra ഉപയോഗിച്ചാല്‍, മൊത്തം മുത്തുകളുടെ എണ്ണം x എന്നു സങ്കല്പിക്കുക. അപ്പോള്‍


(1)-നെ 3, 5, 6, 10 എന്നിവ കൊണ്ടു ഹരിക്കാവുന്ന ഒരു സംഖ്യ (ഉദാഹരണം 30) കൊണ്ടു ഗുണിച്ചാല്‍,


മുകളില്‍പ്പറഞ്ഞ രീതിയാണു ഭാസ്കരാചാര്യര്‍ നല്‍കുന്നതു്. അദ്ദേഹത്തിന്റെ നിയമം:

ഉദ്ദേശകാലാപവദിഷ്ടരാശിഃ
ക്ഷുണ്ണോ ഹൃതോംऽശൌ രഹിതോ യുതോ വാ
ഇഷ്ടാഹതം ദൃഷ്ടമനേന ഭക്തം
രാശിര്‍ഭവേത്‌ പ്രോക്തമിതീഷ്ടകര്‍മ്മ

ഉദ്ദേശ-കാല-അപവത് ഇഷ്ട-രാശിഃ, ക്ഷുണ്ണഃ ഹൃതഃ അംശൌ രഹിതഃ യുതഃ വാ ഇഷ്ട-ആഹതം ദൃഷ്ടം അനേന ഭക്തം രാശിഃ ഭവേത് പ്രോക്തം. ഇതി ഇഷ്ട-കര്‍മ്മ.

അതായതു്, കിട്ടേണ്ട മൂല്യത്തിനു് ഏതെങ്കിലും ഒരു വില (ഇഷ്ടം) കൊടുക്കുക. ചോദ്യത്തില്‍ പറഞ്ഞിരിക്കുന്നതു പോലെ ഗുണിക്കുകയും ഹരിക്കുകയും കൂട്ടുകയും കുറയ്ക്കുകയും ചെയ്യുക. ഇഷ്ടത്തെ കിട്ടുന്ന ഉത്തരം കൊണ്ടു ഹരിച്ചു് കിട്ടേണ്ട ഉത്തരം കൊണ്ടു ഗുണിച്ചാല്‍ ഇഷ്ടത്തിന്റെ ശരിയായ വില കിട്ടും. ഇതിനെ “ഇഷ്ടകര്‍മ്മം” എന്നു പറയുന്നു.

60 മുത്തുകളെന്നു സങ്കല്‍പ്പിക്കുക. ഭൂമിയില്‍ 20, കിടക്കയില്‍ 12, അവളുടെ കയ്യില്‍ 10, അവന്റെ കയ്യില്‍ 6. മൊത്തം 48. ബാക്കി 12. ഉത്തരം .

ഇവിടെ ചില കാര്യങ്ങള്‍ പ്രസക്തമാണു്.

  1. ഇഷ്ടസംഖ്യയെ ഒരു ചരം (variable) ആയി കണക്കാക്കണമെന്നില്ല. ഒരു സംഖ്യ കരുതിയാലും മതി. 3, 5, 6, 10 എന്നിവ കൊണ്ടു ഹരിക്കാവുന്നതായാല്‍ ഭിന്നസംഖ്യ ഒഴിവാക്കാം. മുകളില്‍ 60 എന്നതിനു പകരം ഏതു സംഖ്യയും ഉപയോഗിക്കാം. x എന്നുപയോഗിക്കുന്നതാണു് ഇന്നത്തെ ഹൈസ്കൂള്‍ ആള്‍ജിബ്ര.
  2. ഗുണനം, ഹരണം, കൂട്ടല്‍, കുറയ്ക്കല്‍ എന്നിവയെ ഇഷ്ടസംഖ്യയോടു ചെയ്യുന്നതു മാത്രമേ ഇവിടെ സാദ്ധ്യമാവൂ എന്നു വ്യക്തമായി പറഞ്ഞിരിക്കുന്നു. ഇതില്‍ നിന്നു രണ്ടു കാര്യങ്ങള്‍ വ്യക്തം:
    1. ഇഷ്ടസംഖ്യയല്ലാതെ സംഖ്യകളെ ഇതില്‍ ഉള്‍പ്പെടുത്തരുതു്. അതായതു് ഈ ക്രിയയില്‍ 6 എന്ന സംഖ്യ കൂട്ടാന്‍ പാടില്ല.
    2. മേല്‍പ്പറഞ്ഞ നാലു ക്രിയകളല്ലാതെ മറ്റൊന്നും (ഉദാഹരണം: വര്‍ഗ്ഗം) ചെയ്യാന്‍ പാടില്ല.

    Linear equations-ന്റെ എല്ലാ സ്വഭാവങ്ങളും പറഞ്ഞിട്ടുണ്ടു് എന്നര്‍ത്ഥം.


ജേക്കബും ശ്രീജിത്തും ശരിയായ ഉത്തരം തരുന്നതിനോടൊപ്പം അതെങ്ങനെ കണ്ടുപിടിക്കാം എന്നും വിശദീകരിച്ചു.

ഇന്ദീവരം ഇതു ചെയ്തതു trial and error ഉപയോഗിച്ചാണു്. 3, 5, 6, 10 എന്നിവ കൊണ്ടു ഹരിക്കാവുന്ന സംഖ്യയായിരിക്കണം എന്നതു കൊണ്ടു്, അവയുടെ ല. സാ. ഗു. ആയ 30-ന്റെ ഗുണിതമായിരിക്കണം എന്നു് അനുമാനിച്ചു് ഓരോന്നും ചെയ്തുനോക്കിയാണു കണ്ടുപിടിച്ചതു്.

കൃഷ്ണനും (krish9) ഇതു തന്നെയാണു ചെയ്തതു്. പക്ഷേ, 30-ന്റെ എല്ലാ ഗുണിതങ്ങളും ഉത്തരമാണെന്നു പറഞ്ഞുകളഞ്ഞു. ഇതു ശരിയല്ല. മുത്തുകളുടെ എണ്ണം 30k ആണെങ്കില്‍ ബാക്കി ചരടില്‍ 6k മുത്തുകള്‍ ശേഷിക്കും.

പയ്യന്‍സും ലേഖയും ഉത്തരം ശരിയാക്കി. എങ്ങനെ കണ്ടുപിടിച്ചു എന്നു വിശദീകരിച്ചിട്ടില്ല.

പയ്യന്‍സ് പദ്യത്തില്‍ത്തന്നെ (മലയാള ചോദ്യത്തിന്റെ വൃത്തമായ കുസുമമഞ്ജരിയില്‍ത്തന്നെ) ആണു മറുപടി പറഞ്ഞതു്. പയ്യന്‍സിന്റെ പദ്യം വൃത്തം ശരിയാക്കി താഴെച്ചേര്‍ക്കുന്നു:

മൊത്തമുണ്ടിവിടെ മുത്തു മുപ്പ, തതിലാറു വീണു ബത മെത്തമേല്‍
പത്തു മുത്തു ചിതറിത്തെറിച്ചു തറയില്‍ പതിച്ചതതു കാണുവിന്‍,
മുത്തിലഞ്ചു വധു തന്റെ കയ്യി, ലൊരു മൂന്നു കാന്തനുടെ കയ്യിലും,
ശിഷ്ടമാറു ചരടില്‍ കുടുങ്ങി, യിദമൊത്തു മുപ്പതു കണക്കിലായ്!

സംസ്കൃതചോദ്യത്തിന്റെ വൃത്തമായ സ്രഗ്ദ്ധരയില്‍ത്തന്നെ ഉത്തരവും തരാമെന്നു ശ്രീജിത്ത് പറഞ്ഞതാണു്. ഏതായാലും അദ്ദേഹം അതു ചെയ്തില്ല. നമ്മുടെ ഭാഗ്യം!

എല്ലാവര്‍ക്കും നന്ദി.