5. മൂന്നു കിരീടങ്ങള്‍ (A)

ചോദ്യം:

ചോദ്യം ഇവിടെ.

ഉത്തരം:

ഇതു് ഒരു പ്രസിദ്ധമായ ചോദ്യമാണു്. സ്കൂളില്‍ പഠിക്കുമ്പോഴാണു് ഞാന്‍ ആദ്യം ഇതു കാണുന്നതു്. കുറച്ചു നേരം ചോദ്യത്തില്‍ തുറിച്ചു നോക്കിയിട്ടും തല പുകഞ്ഞാലോചിച്ചിട്ടും ഒരു പിടിയും കിട്ടിയില്ല. അവസാനം പുസ്തകത്തില്‍ ഉത്തരം നോക്കി മനസ്സിലാക്കി. അതും എടുത്തു കുറേ സമയം.

ഇപ്പോള്‍ മനസ്സിലായി എന്തുകൊണ്ടാണു് അതു പറ്റിയതെന്നു്. അന്നു ഞാനൊരു ബാച്ചിലറായിരുന്നല്ലോ :)

വളരെപ്പേര്‍ ഇതിന്റെ ശരിയുത്തരം അയച്ചു. എനിക്കു് ഏറ്റവും ലളിതമായി തോന്നിയതു് ശ്രീജിത്തിന്റെ ഉത്തരമാണു്:

ഗജേന്ദ്രനു് തന്റെ തലയില്‍ സിംഹമാണെന്ന് ആ സാഗര്‍ ഏലിയാസ് ജാക്കിക്ക്(രാജാവിന്റെ മകന്‍) എളുപ്പം മനസ്സിലാക്കാവുന്നതേ ഉള്ളൂ. കാരണം അത് കടുവയായിരുന്നെങ്കില്‍ കനിഷ്കനോ ഖട്വാംഗനോ തന്റെ തലയിലുള്ളത് എളുപ്പം ഊഹിച്ചെടുത്തു് പെണ്ണിനേയും കൊണ്ട് പറന്നേനേ.

ഫോര്‍ എക്സാമ്പിള്‍. ഗജേന്ദ്രന്റെ തലയില്‍ കടുവയാണെന്ന് വയ്ക്കുക. കനിഷ്കന്‍ നോക്കുമ്പോള്‍ കാണുന്നത് ഒരു കടുവാകിരീടവും ഒരു സിഹകിരീടവും. കനിഷ്കന്റെ തലയില്‍ കടുവാകിരീടം ആ‍യിരുന്നെങ്കില്‍ ഖട്വാംഗന്‍ സ്വന്തം തലയില്‍ സിംഹകിരീടം എന്ന് കൂവിയേനേ (അങ്ങേര്‍ അപ്പോള്‍ കാണുന്നത് രണ്ട് കടുവാകിരീടം ആണല്ലോ). ഖട്വാംഗന്‍ കൂവാത്തതിനു കാരണം തന്റെ തലയില്‍ സിംഹകിരീടം ആണെന്നതാണെന്ന് മനസ്സിലാക്കി കനിഷ്കനും കൂവിയേനെ. രണ്ടും സംഭവിക്കാത്തതിനു കാരണം ഒന്നു മാത്രം. ഗജേന്ദ്രന്റെ തലയില്‍ സിംഹകിരീടം എന്ന ആത്യന്തികമായ സത്യം .

ഇതു തന്നെ ക്യൂട്ട് അപ്പായി എന്ന കുട്ടപ്പായിയും പറഞ്ഞു:

A, B, C നിരന്നു നില്‍ക്കുന്നു. ബി ചിന്തിച്ചു തുടങ്ങി. എന്റെ തലേല്‍ പുലിയാണെങ്ങില്‍, എ കാണുക ഒരു പുലി ഒരു സിമ്മം. അപ്പൊ ലവന്‍ സ്വന്തം തലയില്‍ പുലിയാണെന്നു സങ്കല്‍പ്പിച്ചാല്‍ സി കാണുക 2 പുലി. സി അപ്പോള്‍ തന്നെ വിളിച്ചു കൂവിയേനെ, പക്ഷെ ശപ്പന്‍ മിണ്ടുന്നില്ല. അതാണ്‌ എ മിണ്ടാതെ നില്‍ക്കുന്നത്‌. അപ്പൊ ബീയുടെ തലയില്‍ സിമ്മം തന്നെ.

ഇവരെ കൂടാതെ വഴിപോക്കന്‍, അരുണ്‍, ഉത്സവം, ബാബു കല്യാണം, ജേക്കബ് എന്നിവരും ശരിയുത്തരം അയച്ചിട്ടുണ്ടു്.

അന്യഗ്രഹജീവിയായ പൊന്നപ്പന്‍ ക, ഖ, ഗ ഒക്കെ വിട്ടിട്ടു ആദിയെയും ശ്രീജിത്തിനെയും പാച്ചാളത്തെയും പിടികൂടി ഇതു വേറൊരു വിധത്തില്‍ വിശദീകരിച്ചു. അദ്ദേഹം പറഞ്ഞതു പരിഭാഷപ്പെടുത്തി ഇവിടെച്ചേര്‍ക്കുന്നു:

ഒരു എത്തും പിടിയുമില്ലാതെ നില്‍ക്കുന്ന കനിഷ്കനെ കണ്ടിട്ടു് ഖട്വാംഗന്‍ ഇങ്ങനെ ആലോചിച്ചു:

“അല്ലാ, അപ്പോള്‍ കനിഷ്കന്‍ അന്തം വിട്ടതിന്റെ സാരാംശമെന്താ? എന്റേം ഗജേന്ദ്രന്റെയും തലയില്‍ രണ്ടു കടുവാക്കിരീടം ഇല്ല എന്നു്. അതായതു അപ്പൊ രണ്ടു പോസ്സിബിലിറ്റിയാണു ഇനി ഉള്ളതു്:

  1. ഒന്നുകില്‍ രണ്ടു സിംഹത്തല
  2. അല്ലേല്‍ ഒരു കടുവയും ഒരു സിംഹവും

ഹാവൂ..ചുള്ളന്‍ ഒരു ക്ളൂ കൂടി തന്നു.. ഒരു സിംഹം കോമണ്‍ ഫാക്റ്റര്‍. പക്ഷേ മറ്റേത് കടുവയാകാം. അല്ലേല്‍ സിംഹവുമാകാം.

അതായതു കുറച്ചു കൂടി വ്യക്തമാക്കി ചിന്തിച്ചാല്‍.. ഗജേന്ദ്രന്റെ തലയില്‍ കടുവയായിരുന്നേല്‍ ആ കോമണ്‍ ഫാക്റ്റര്‍ സിംഹം ആരാ? ഈ ഞാന്‍ !

“ഗ്റ.ര്‍ര്‍.ര്‍…” അലറാനൊരുങ്ങി ഗജേന്ദ്രന്റെ തലയിലേക്കു നോക്കിയ ഖട്വാംഗന്‍ അലങ്കാരങ്ങളൊന്നുമില്ലാതെ ഒന്നു ഞെട്ടി: “തള്ളേ.. ലതു കടുവയല്ലല്ല്..!! അപ്പ.. എന്റെ മണ്ടേല്‍ എന്തരു വേണോ ആകാം . കലിപ്പുകള്തന്ന..”

വിഷാദ മൂകനായി ദണ്ഡിയാത്ര നടത്തിയ ഖട്വാംഗനെ കണ്ടു ഗജേന്ദ്രന്‍ ഒന്നു പകച്ചു.. എന്നിട്ടു മനസ്സില്‍ പറഞ്ഞു.. “അപ്പ ലവന്‍ പുലിയായിരുന്നല്ലേ…???? ” പിന്നെപ്പറഞ്ഞതു കുറച്ചുറക്കെ ആയിരുന്നു.. “ഒരു സിംഗം..!!!!” –


ആദിത്യന്‍, കരീം മാഷ്, ദില്‍ബാസുരന്‍, വളയം, ബിന്ദു, kd എന്നിവരുടെ ഉത്തരം പൂര്‍ണ്ണമല്ല. അവര്‍ ശരിയുത്തരം അറിയാമെന്നു തോന്നുന്നു. പക്ഷേ കമന്റില്‍ അതു കാണുന്നില്ല.


ബാച്ചിലര്‍മാരെപ്പറ്റിയുള്ള ഈ കഥയ്ക്കു ധാരാളം അനുബന്ധങ്ങളും കിട്ടി. രണ്ടെണ്ണം താഴെ.

ഉമേഷ് പറഞ്ഞു:

കനിഷ്കനെയും ഖട്വാംഗനെയും സമ്മാനങ്ങള്‍ നല്‍കി രാജാവു യാത്രയാക്കി.

ഗജേന്ദ്രനോടു രാജാവു പറഞ്ഞു: “നീ തന്നെ വിജയി. നീ എന്റെ മകളെ വിവാഹം കഴിച്ചു് ചക്രവര്‍ത്തിയായി വാണുകൊള്ളൂ.”

ഗജേന്ദ്രന്‍ പറഞ്ഞു, “വേണ്ട തിരുമേനീ. അടിയന്‍ വിവാഹിതനാണു്. അടിയനെ കാത്തു് സ്നേഹസമ്പന്നയായ ഒരു ഭാര്യയുണ്ടു്. ലവന്മാര്‍ക്കു് ഒരു ധാരണയുണ്ടു്-കല്യാണം കഴിഞ്ഞാല്‍ ആണുങ്ങളുടെ കഴിവൊക്കെ പോയെന്നു്. അതു തെറ്റാണെന്നു കാണിച്ചുകൊടുക്കാനാണു് ഞാന്‍ ഈ നാടകം കളിച്ചതു്…”

രാജകുമാരി ഇപ്പോഴും കന്യകയായി കഴിയുന്നു.

മുല്ലപ്പൂ പറഞ്ഞു:

കനിഷ്കനെയും ഖട്വാംഗനെയും സമ്മാനങ്ങള്‍ നല്‍കി രാജാവു യാത്രയാക്കി.

ഗജേന്ദ്രനോടു രാജാവു പറഞ്ഞു: “നീ തന്നെ വിജയി. നീ എന്റെ മകളെ വിവാഹം കഴിച്ചു് ചക്രവര്‍ത്തിയായി വാണുകൊള്ളൂ.”

ഗജേന്ദ്രന്‍ പറഞ്ഞു, വേണ്ട തിരുമേനീ. അടിയനോട് പൊറുക്കണം . അടിയന്‍ രാജകുമാരന്‍ അല്ല. രാജകുമാരി ആണ്. അങ്ങയുടെ മകളുടെ പ്രിയ സുഹൃത്ത്.

അടിയന്‍ വേഷം മാറി വന്നതാണ്. അങ്ങയുടെ മകളെ മണ്ടശിരോമണികളില്‍ നിന്നു രക്ഷിക്കാന്‍ അടിയന്‍ ഇതേ ഒരു വഴി കണ്ടുള്ളൂ.

എല്ലാവര്‍ക്കും നന്ദി.


ഈ ചോദ്യം എത്ര വേണമെങ്കിലും സങ്കീര്‍ണ്ണമാക്കാം. ഉദാഹരണമായി, 100 ആളുകള്‍, 100 വെളുത്ത തൊപ്പി, 99 കറുത്ത തൊപ്പി എന്നിങ്ങനെ ഈ ചോദ്യം കേട്ടിട്ടുണ്ടു്. ഏറ്റവും മിടുക്കന്‍ ഇങ്ങനെ ചിന്തിക്കും “തന്റെ തലയില്‍ കറുപ്പാണെങ്കില്‍ രണ്ടാമത്തവന്‍ ഇങ്ങനെ ചിന്തിക്കും:“തന്റെ തലയില്‍ കറുപ്പാണെങ്കില്‍ മൂന്നാമത്തവന്‍ ഇങ്ങനെ ചിന്തിക്കും…”…”. തര്‍ക്കശാസ്ത്രപരമായി ഇതു ശരിയാണെങ്കിലും ആളുകളുടെ എണ്ണം മൂന്നില്‍ കൂടിയാല്‍ ഇതു വളരെ കൃത്രിമമാകും എന്നാണു് എനിക്കു തോന്നുന്നതു്.


ഇതിനോടു സാദൃശ്യമുള്ള പല ചോദ്യങ്ങളുമുണ്ടു്. ഉദാഹരണമായി, സിദ്ധാര്‍ത്ഥന്‍ ഒരു മാസം മുമ്പു് ഇ-മെയിലില്‍ അയച്ചു തന്ന പ്രശ്നം (ഈ പ്രശ്നമാണു് ഇങ്ങനെയൊരു ബ്ലോഗ് തുടങ്ങാന്‍ എന്നെ പ്രേരിപ്പിച്ചതു്):

ചോദ്യം:

അഞ്ചു തൊപ്പികളുണ്ടു്‌. അതില്‍ മൂന്നെണ്ണം ചുവപ്പും രണ്ടെണ്ണം കറുപ്പും. മൂന്നു ബുദ്ധിമാന്മാരെ വരിയായി നിര്‍ത്തി.അവരുടെ തലയില്‍ ഈ തൊപ്പിയില്‍നിന്നു്‌ മൂന്നെണ്ണമെടുത്തു്‌ വച്ചു കൊടുത്തു. ആര്‍ക്കും തന്റെ തലയിലേതാണു്‌ തൊപ്പിയെന്നു കാണാന്‍ വയ്യ. പിന്നില്‍നില്‍ക്കുന്നവനു്‌ മുന്നില്‍ നില്‍ക്കുന്ന രണ്ടാളുടേയും തൊപ്പി കാണാം. രണ്ടാമതു നില്‍ക്കുന്നവനു്‌ മുന്നില്‍ നില്‍ക്കുന്ന ഒരാളുടേയും. മുന്‍പില്‍ നില്‍ക്കുന്നവനു്‌ ആരുടേതും കാണാന്‍ വയ്യ. എന്ന രീതിയിലാണു്‌ നില്‍പ്പു്‌.

എന്നിട്ടേറ്റവും പിന്നില്‍ നില്‍ക്കുന്നവനോടു്‌ തന്റെ തലയിലെ തൊപ്പിയുടെ നിറമേതാണെന്നു പറയാന്‍ സാധിക്കുമോ? എന്നു ചോദിച്ചു. അവനതിനു കഴിയാഞ്ഞപ്പോള്‍ രണ്ടാമനോടു ചോദിച്ചു. അവനുമറിയില്ലത്രേ. മുന്നില്‍ നില്‍ക്കുന്നവനോടു്‌ ചോദിച്ചപ്പോള്‍ അവന്‍ കൃത്യമായി പറഞ്ഞു.

ഏതായിരുന്നു അവന്റെ തലയിലെ തൊപ്പിയുടെ നിറം?

ഉത്തരം:

പിന്നില്‍ നില്‍ക്കുന്നവനു പറയാന്‍ പറ്റാഞ്ഞതുകൊണ്ടു് മുമ്പിലുള്ള രണ്ടുപേരില്‍ ഒരാള്‍ക്കെങ്കിലും ചുവപ്പുതൊപ്പിയുണ്ടെന്നു സാരം. രണ്ടും കറുപ്പായിരുന്നെങ്കില്‍ അവന്‍ തന്റേതു ചുവപ്പാണെന്നു പറഞ്ഞേനേ.

രണ്ടാമത്തവന്‍ പറയാഞ്ഞതു കൊണ്ടു് ഏറ്റവും മുന്നിലുള്ളവന്റെ തലയില്‍ ചുവപ്പായിരിക്കും. മറിച്ചു കറുപ്പായിരുന്നെങ്കില്‍ ആദ്യത്തെ ആളില്‍ നിന്നു കിട്ടിയ ക്ലൂ ഉപയോഗിച്ചു സ്വന്തം തലയില്‍ ചുവപ്പാണെന്നു് ഇഷ്ടന്‍ പറഞ്ഞേനേ.

അതുകൊണ്ടു് ഏറ്റവും മുന്നില്‍ നില്‍ക്കുന്നവന്റെ തലയില്‍ ചുവപ്പുതൊപ്പി തന്നെ.

ഇതു പോലെയുള്ള ചില ചോദ്യങ്ങള്‍ അക്ഷരശാസ്ത്രത്തിലെ ഈ പോസ്റ്റില്‍ കാണാം.

A:Logical
Answers

Comments (4)

Permalink

6. മുത്തപ്പനുള്ള സംഭാവന (Q)

എടത്താടന്‍ മുത്തപ്പനും ചെക്കിലെ തെറ്റും എന്ന ചോദ്യത്തിന്റെ വിശകലം വിചാരിച്ചതില്‍ കൂടുതല്‍ സങ്കീര്‍ണ്ണമായി. അതിനാല്‍ അതു് അടുത്ത പ്രശ്നമായി ഇടുന്നു.

ചുരുക്കിപ്പറഞ്ഞാല്‍,

  1. ഞാന്‍ ഒരു ചെക്കെഴുതി. രൂപയും പൈസയും 100-ല്‍ കുറവു്.
  2. വിശാലന്‍ രൂപയെ പൈസയായും പൈസയെ രൂപയായും കരുതി ഒരു തുക എനിക്കു തന്നു.
  3. ഞാന്‍ അതില്‍ നിന്നു കുറേ പണം മുത്തപ്പന്റെ ഭണ്ഡാരത്തില്‍ സംഭാവനയായിട്ടു.
  4. ബാക്കി വന്ന പണം ഞാന്‍ ചോദിച്ച തുകയുടെ കൃത്യം ഇരട്ടിയായിരുന്നു.

ഇതിന്റെ എല്ലാ ഉത്തരങ്ങളും കണ്ടുപിടിക്കുക. അതായതു്,

  1. ഏതൊക്കെ സംഭാവനകള്‍ ഇവിടെ സാദ്ധ്യമാണു്?
  2. ഓരോ സംഭാവന അനുസരിച്ചുള്ള ചെക്കിലെ തുക എന്തായിരിക്കും?
  3. ഇതിനു് സാമാന്യമായ നിയമങ്ങള്‍ ഉണ്ടാക്കാന്‍ സാധിക്കുമോ?

ഉപരിഗണിതമോ കമ്പ്യൂട്ടര്‍ ഉപയോഗിച്ചോ ഉത്തരം കണ്ടുപിടിക്കുക. കൂടുതല്‍ വിവരങ്ങള്‍ക്കു് ചോദ്യവും വിശകലനവും കാണുക.

Current

Comments (9)

Permalink

4. എടത്താടന്‍ മുത്തപ്പനും ചെക്കിലെ പിശകും (A)

ചോദ്യം:

ചോദ്യം ഇവിടെ.

ഉത്തരം:

വിശാലമനസ്കന്‍ എന്ന ഗ്ലാമര്‍ താരത്തെപ്പറ്റി പറഞ്ഞതു കൊണ്ടാണോ, മുത്തപ്പന്റെ അനുഗ്രഹം കൊണ്ടാണോ, അതോ നല്ല പ്രശ്നമായതുകൊണ്ടാണോ എന്തോ, വളരെയധികം കമന്റുകള്‍ കിട്ടി.

ഉത്തരമയച്ചവര്‍ക്കെല്ലാം ശരിയുത്തരവും കിട്ടി: 31 രൂപ 63 പൈസ.

ഈ തുക ഞാന്‍ ചോദിച്ചപ്പോള്‍ വിശാലന്‍ 63 രൂപ 31 പൈസ തന്നു. അഞ്ചു പൈസ ഭണ്ഡാരത്തിലിട്ടു കഴിഞ്ഞപ്പോള്‍ ബാക്കി 63 രൂപ 26 പൈസ. ഇതു 31.63-ന്റെ കൃത്യം ഇരട്ടി!

ഇനി എങ്ങനെ ഇതു കണ്ടുപിടിക്കും എന്നു നോക്കാം. ലളിതമായ രീതികള്‍ ആദ്യവും കൂടുതല്‍ ഗഹനമായവ പിന്നീടും.

ബീജഗണിതം ഉപയോഗിച്ചു് കൊടുത്ത ചെക്കിലെ തുക r രൂപയും p പൈസയും എന്നു സങ്കല്പിച്ചാല്‍,

എന്നെഴുതാം. ഇതിനെ സരളമാക്കിയാല്‍

എന്നു കിട്ടും.


(1) എന്ന സമവാക്യത്തില്‍ രണ്ടു ചരങ്ങള്‍ (variables) ഉണ്ടു്. ഒരു സമവാക്യവും. ഇതു നിര്‍ദ്ധരിക്കാന്‍ രണ്ടു കുഴപ്പമുണ്ടു്.

  1. ഇതിനു് അനന്തം ഉത്തരങ്ങളുണ്ടു്. ഒരു ചരത്തിനു് ഒരു നിശ്ചിതവില കൊടുത്താല്‍ മറ്റേതു് അതില്‍ നിന്നു കണ്ടുപിടിക്കാം.
  2. എല്ലാ വിലകളും ഈ പ്രശ്നത്തില്‍ ശരിയാവില്ല. ഉദാഹരണമായി, r=10 എന്നു കൊടുത്താല്‍ p=(1995/98) എന്നു കിട്ടും.

    r, p എന്നിവ പൂര്‍ണ്ണസംഖ്യകളായിരിക്കണം. ഈ പ്രശ്നത്തില്‍ അവ 0-ത്തിനും 99-നും ഇടയ്ക്കുള്ള (രണ്ടും ഉള്‍പ്പെടെ) പൂര്‍ണ്ണസംഖ്യയായിരിക്കണം.

ഇതിനെ indeterminate integer equation എന്നു വിളിക്കുന്നു. തന്നിട്ടുള്ള സമവാക്യങ്ങള്‍ കൊണ്ടു് പൂര്‍ണ്ണമായി നിര്‍ദ്ധരിക്കാന്‍ പറ്റാത്ത സമവാക്യമാണു് indeterminate equation. പൂര്‍ണ്ണസംഖ്യകള്‍ മാത്രം മൂല്യമായി വരുന്നവ integer equation-ഉം.

ഡയഫാന്റസിന്റെ പേരിലാണു് ഇത്തരം സമവാക്യങ്ങള്‍ അറിയപ്പെടുന്നതു്. എങ്കിലും ഇവയില്‍ പലതും മറ്റു പല ഗണിതജ്ഞരും നിര്‍ദ്ധരിച്ചിരുന്നു-ഭാരതത്തിലെ ബ്രഹ്മഗുപ്തനും ഭാസ്കരനും ഉള്‍പ്പെടെ.

താഴെക്കൊടുത്തിരിക്കുന്ന തിയറി പൂര്‍ണ്ണമായി ആവിഷ്കരിക്കപ്പെടുന്നതു് 18, 19 നൂറ്റാണ്ടുകളിലാണു്. ലെഗ്രാന്‍‌ജെ, ഓയ്‌ലര്‍, ഗോസ് എന്നിവരാണു് ഇതിലെ ഭൂരിഭാഗം കാര്യങ്ങളും കണ്ടുപിടിച്ചതു്.


ഈ linear integer equation-ഉം അനന്തം ഉത്തരങ്ങള്‍ ഉണ്ടു്. നമുക്കു് r = R, p = P എന്നൊരു ഉത്തരം കിട്ടിയാല്‍

(1) എന്ന സമവാക്യത്തിനെ ഇങ്ങനെ എഴുതാം.

ഇതിനു് ഇത്രയേ അര്‍ത്ഥമുള്ളൂ-98p-യെ 199 കൊണ്ടു ഹരിച്ചാല്‍ ശിഷ്ടം 5 കിട്ടണം. ഇങ്ങനെയുള്ള p കണ്ടുപിടിക്കുക. (p കിട്ടിയാല്‍ r കണ്ടുപിടിക്കാന്‍ ബുദ്ധിമുട്ടില്ലല്ലോ.)

ഇവിടെ p=0, 1, 2, …, 198 എന്നീ മൂല്യങ്ങള്‍ കൊടുത്താല്‍ ശിഷ്ടങ്ങള്‍ 0, 1, 2, …, 198 എന്നിവ കിട്ടും-ആ ക്രമത്തിലല്ലെന്നു മാത്രം. മറ്റൊരു വിധത്തില്‍ ‍പറഞ്ഞാല്‍, p=0, 1, 2, …, 198 എന്നീ മൂല്യങ്ങളില്‍ കൃത്യം ഒരെണ്ണം 5 ശിഷ്ടം തരും.

ഇതു പണിയായല്ലോ. ആരെക്കൊണ്ടു കഴിയും 199 തവണ ഇതു ചെയ്തുനോക്കാന്‍? വേറേ വഴി വല്ലതുമുണ്ടോ?

ഉണ്ടല്ലോ. ഇങ്ങനെയുമെഴുതാം.

98 കൊണ്ടു ഹരിക്കുമ്പോള്‍ -5 ശിഷ്ടം കിട്ടുന്നതും 93 കിട്ടുന്നതും ഒന്നു തന്നെയായതു കൊണ്ടു് ഇതിനെ

എന്നെഴുതാം. മുമ്പു പറഞ്ഞ തിയറി അനുസരിച്ചു് r=0, 1, 2, …, 97 എന്നീ വിലകള്‍ കൊടുത്താല്‍ കൃത്യം ഒരെണ്ണം 93 ശിഷ്ടം തരും.

199 തവണ എന്നുള്ളതു 98 ആയി. പക്ഷേ അതു പോരല്ലോ. ഇനിയും നന്നാക്കാന്‍ പറ്റുമോ?

ആലോചിച്ചാല്‍, p എന്നതു് r-ന്റെ ഇരട്ടിയോടു വളരെ അടുത്തു നില്‍ക്കുന്ന സംഖ്യയാണെന്നു കാണാം. ആ സംഖ്യ വളരെ ചെറുതാകാന്‍ സാദ്ധ്യതയുണ്ടു്. നമുക്കു് p = 2r + z എന്നു കൊടുക്കാം. അപ്പോള്‍ (1) എന്ന സമവാക്യം

എന്നായി മാറും. അതായതു്

അഥവാ,

(3 കൊണ്ടു ഹരിച്ചാല്‍ 5 ശിഷ്ടം വരിക എന്നു പറഞ്ഞാല്‍ ഒരു മൂന്നും കൂടി എടുത്തിട്ടു് ശിഷ്ടം 2 എന്നു പറയാമല്ലോ.)

ഇതു വളരെ ഭേദമാണു്. r=0, 1, 2 എന്നീ മൂന്നു വിലകള്‍ മാത്രം നോക്കിയാല്‍ മതി. അതിലൊന്നിനെ 3 കൊണ്ടു ഹരിച്ചാല്‍ 2 ശിഷ്ടം കിട്ടും.

r=0, 1, 2 എന്നിവ ആയാല്‍ 3 കൊണ്ടു ഹരിച്ച ശിഷ്ടം യഥാക്രമം 0, 2, 1 എന്നിവ ആണെന്നു കാണാം. അപ്പോള്‍ നമ്മുടെ ഉത്തരം z = 1.

അപ്പോള്‍,

സിബുവാണു് ഈ പ്രശ്നം പൂര്‍ണ്ണമായി സോള്‍‌വു ചെയ്ത ഒരേയൊരു വ്യക്തി. മാത്രമല്ല, മുകളില്‍ കൊടുത്ത രീതിയെക്കാള്‍ ലളിതമായ ഒരു വഴി കാണിച്ചുതരുകയും ചെയ്തു-congruence theory ഉപയോഗിക്കാതെ തന്നെ.

സിബു (2)-നെ ഇങ്ങനെ എഴുതി.

ഇതിനെ 3 കൊണ്ടു ഹരിച്ചു ചെറിയ സ്ഥാനമാറ്റം നടത്തിയാല്‍,

ഇവിടെ (z-1) മൂന്നിന്റെ ഗുണിതമായാലേ ഏറ്റവും അവസാനത്തെ പദം ഒരു പൂര്‍ണ്ണസംഖ്യയാവൂ.

r ഒരു പോസിറ്റിവ് സംഖ്യയായതിനാല്‍ z > 0 എന്നും കാണാം.

അപ്പോള്‍, z = 3k+1 = 1, 4, 7, ….

z = 1 ആയാല്‍ r = 31, p = 63
z = 4 ആയാല്‍ r = 125. പക്ഷെ, r എന്നത്‌ വിശാലന്‍ പൈസയായി എണ്ണി എന്നതിനാല്‍ r നൂറില്‍ താഴെ ആവണം. അതുകൊണ്ട്‌ d = 4 ശരിയാവില്ല.

അതുകൊണ്ട്‌ ഒരേ ഒരു ഉത്തരം: ചെക്കിലെഴുതിയത്‌ 31.63

സിബു തന്നെ നമ്മുടെ വിജയി.


ഇതിനു വളരെ സാമാന്യമായ ഒരു നിര്‍ദ്ധാരണം ഉണ്ടു്. മുമ്പു കൊടുത്ത രീതിയില്‍ പൈസ രൂപയുടെ ഇരട്ടിയുടെ അടുത്തു നിന്നതു കൊണ്ടാണു് നമുക്കു് എളുപ്പം ചെയ്യാന്‍ പറ്റിയതു്. ഇല്ലെങ്കിലോ?

ഇല്ലെങ്കിലും ഇത്തരം സമവാക്യങ്ങള്‍ നിര്‍ദ്ധരിക്കാനുള്ള വഴികള്‍ ഗണിതജ്ഞര്‍ ആവിഷ്കരിച്ചിട്ടുണ്ടു്. അതനുസരിച്ചു്, (98/199) എന്ന ഭിന്നത്തിനെ ഒരു തുടര്‍‌ഭിന്നം (continued fraction) ആക്കുക.

ഇതിനെ [0;2,32,2] എന്നും എഴുതാം.

ഈ പ്രശ്നം സോള്‍വു ചെയ്യാന്‍ തുടര്‍ഭിന്നത്തിലെ ആദ്യത്തെ സംഖ്യയുള്‍പ്പെടെയുള്ള പദങ്ങളുടെ എണ്ണം ഒരു ഒറ്റസംഖ്യയായിരിക്കണം. ഇവിടെ അതു നാലാണല്ലോ. അതിനു കുഴപ്പമില്ല. അവസാനത്തെ പദത്തെ

എന്നു മാറ്റിയെഴുതിയാല്‍ മതി. അപ്പോള്‍

എന്നു കിട്ടും. ഇനി ഇതിന്റെ അവസാനത്തെ പദം കളഞ്ഞിട്ടു ബാക്കിയുള്ളതിന്റെ മൂല്യം ഒരു ഭിന്നമായി കണ്ടുപിടിക്കുക.

ഇതിന്റെ ഛേദവും (132) അംശവും (65)

എന്ന സമവാക്യത്തിന്റെ നിര്‍ദ്ധാരണം ആയിരിക്കും. അതായതു്, p = 132, r = 65 എന്ന മൂല്യങ്ങള്‍.

നമുക്കു വേണ്ട സമവാക്യത്തിന്റെ നിര്‍ദ്ധാരണം കിട്ടാന്‍ ഇവയെ 5 കൊണ്ടു ഗുണിച്ചാല്‍ മതി. അതായതു്,

(1) എന്ന സമവാക്യത്തില്‍ ഇട്ടുനോക്കിയാല്‍ ഇവ ശരിയാകും എന്നു കാണാം.

പക്ഷേ, നമുക്കിതു പോരല്ലോ. 0-99 എന്ന പരിധിയിലുള്ളതു കണ്ടുപിടിക്കണമല്ലോ. മുകളില്‍ പറഞ്ഞ നിയമം ഉപയോഗിച്ചു് ഇതു കണ്ടുപിടിക്കാം.

ഇതില്‍ k = -3 എന്നിട്ടാല്‍ r = 31, p = 63 എന്നു കിട്ടും.


മുകളില്‍ പറഞ്ഞതനുസരിച്ചു്

അപ്പോള്‍ ശരി എഴുതുന്നു:

വിശാലൻറെ ഈ വീക്ക്നെസ്സ് അറിയാവുന്ന ആരെങ്കിലും129.262 എന്നൊക്കെ ചെക്കിൽ എഴുതിയാൽ ഉമേഷ്ജി പറഞ്ഞ് പോലെ ഒന്നിലധികം ഉത്തരം കിട്ടും. വിശാലൻ മിഡ്ഡിൽ ഈസ്റ്റിലെ ഓർമയിൽ ചിലപ്പൊൾ 262 രൂപ 129 പൈസ തന്നാലോ? അവിടുത്തെ ചില രാജ്യങ്ങളിൽ 1 ദിനാറ് = 1000 ഫില്സ് എന്നൊക്കെ അല്ലെ കണക്ക്?

ഇനി 1 ദിനാര്‍ = 1000 ഫില്‍‌സ് എന്ന കണക്കുള്ള രാജ്യമാണെങ്കിലോ? ചെക്കെഴുതിയിട്ടു് ഞാന്‍ അഞ്ചു ഫില്‍‌സ് ഭണ്ഡാരത്തിലിട്ടു എന്നു കരുതുക. എന്തൊക്കെ ഉത്തരങ്ങളുണ്ടു്?

മുകളില്‍ പറഞ്ഞ രീതികളിലേതെങ്കിലും ഉപയോഗിച്ചു് ഈ പ്രശ്നം പൂര്‍ണ്ണമായി നിര്‍ദ്ധരിക്കാം. സിബുവൊഴികെ നമ്മുടെ വായനക്കാരാരും ഇതു വരെ പോയില്ലെങ്കിലും, ഈ ആശയങ്ങള്‍ തന്നെ ഉപയോഗിച്ചു് ഉത്തരത്തിലെത്തി.

  1. അടിപൊളീസ്, സിദ്ധാര്‍ത്ഥന്‍, ശ്രീജിത്ത്, വല്യമ്മായി എന്നിവര്‍ ഉത്തരം മാത്രമേ തന്നിട്ടുള്ളൂ. ചെയ്ത വിധം തന്നിട്ടില്ല.

    മിക്കവാറും കമ്പ്യൂട്ടര്‍ പ്രോഗ്രാം എഴുതിയായിരിക്കാം ഉത്തരം കണ്ടുപിടിച്ചതു്. അതു പോരല്ലോ.

  2. പുള്ളി (1) എന്ന സമവാക്യത്തില്‍ പല മൂല്യങ്ങള്‍ ഇട്ടു നോക്കി അവസാനം ഉത്തരം കണ്ടുപിടിച്ചു. അതു പോരാ പുള്ളീ, അല്പം കൂടി ആലോചിക്കൂ.
  3. (1) എന്ന സമവാക്യം എല്ലാവര്‍ക്കും കിട്ടി. ഇനി അതുപോലെയുള്ള ഒരു linear equation കൂടി കിട്ടിയാല്‍ സംഗതി എളുപ്പമായി.

    p എന്നതു് r എന്നതിന്റെ ഇരട്ടിയില്‍നിന്നു് അല്പം വലുതാണെന്ന കാര്യം ശ്രദ്ധിച്ചിട്ടു്

    എന്നു സങ്കല്‍പ്പിച്ചു് ഈ രണ്ടു simultaneous equations-ഉം solve ചെയ്താണു് കുട്ട്യേടത്തി, ചാക്കൊച്ചി, അപ്പോള്‍ ശരി, രാധ, ജേക്കബ് എന്നിവര്‍ ഉത്തരം കണ്ടുപിടിച്ചതു്. “ഇട്ടിയമ്മ ചാടിയാല്‍ കൊട്ടിയമ്പലത്തിന്റെ കഷ്ടിച്ചു് ഒരടി കൂടിയേ പോകൂ” എന്നു വിശ്വം പറഞ്ഞതിന്റെ അര്‍ത്ഥവും ഇതു തന്നെ. ഇവരാണു് തൊട്ടടുത്താ സ്ഥാനത്തിനര്‍ഹര്‍.

    പക്ഷേ, വിശ്വം “കഷ്ടിച്ചു് ഒരടി കൂടിയേ” എന്നു പറഞ്ഞതു ശരിയല്ല. ഉദാഹരണത്തിനു്, ഞാന്‍ 5 പൈസയ്ക്കു പകരം 52 പൈസയാണു് ഇട്ടിരുന്നെങ്കില്‍ (എന്റെ സ്വഭാവം നോക്കിയാല്‍ സാദ്ധ്യത വളരെ കുറവു്) മേല്‍പ്പറഞ്ഞതു പോരാ,

    എന്നതു് ഉപയോഗിക്കണം. ഇട്ടിയമ്മ കൊട്ടിയമ്പലത്തിനു രണ്ടു പടി അപ്പുറത്തേക്കും ചാടാം എന്നര്‍ത്ഥം.

    മുകളില്‍ പറഞ്ഞവര്‍ ഈ ഒരു സാദ്ധ്യതയെപ്പറ്റിയും പറഞ്ഞിരുന്നു. ഒന്നു കൂട്ടി കിട്ടിയില്ലെങ്കില്‍ രണ്ടു കൂട്ടി നോക്കും, അതും കിട്ടിയില്ലെങ്കില്‍ മൂന്നു കൂട്ടി നോക്കും എന്നിങ്ങനെ.

    ഉത്തരമുണ്ടെങ്കില്‍ കണ്ടുപിടിക്കാന്‍ മൂന്നു മൂല്യങ്ങള്‍ മാത്രം പരിശോധിച്ചാല്‍ മതി എന്നു് ഉറപ്പാക്കാന്‍ മുകളില്‍ പറഞ്ഞ തിയറി ഉപയോഗിക്കേണ്ടി വരും.

  4. ഓരോരുത്തരും ചെയ്ത രീതികള്‍ കാണാന്‍ ഈ പോസ്റ്റിലെ കമന്റുകള്‍ വായിക്കുക.


എന്തിനാണു് ഈ ചെറിയ പ്രശ്നം ചെയ്യാന്‍ ഇത്ര വലിയ ഗണിതതത്ത്വങ്ങള്‍ ഉപയോഗിക്കുന്നതു്? മൂട്ടയെ കൊല്ലാന്‍ മെഷീന്‍ ഗണ്‍ ഉപയോഗിക്കണോ?

വക്കാരി കുറച്ചു മുമ്പു് ഇത്തരം ഒരു ചോദ്യം ചോദിച്ചിരുന്നു. ഗണിതം കൊണ്ടു് എന്താണൊരു ഗുണം, പരീക്ഷയ്ക്കു മാര്‍ക്കു വാങ്ങുകയല്ലാതെ?

ഗണിതത്തിന്റെ ഗുണം വ്യക്തമാക്കാനാണു് ഇത്രയും എഴുതിയതു്. ഗണിതം ഉപയോഗിച്ചാല്‍ നമുക്കു് ഈ പ്രശ്നം പൂര്‍ണ്ണമായി നിര്‍ദ്ധരിക്കാന്‍ കഴിയുന്നു. മറ്റു രീതികളില്‍ നമുക്കു് ഒരു ഉത്തരം കിട്ടിയേക്കാം. പക്ഷേ, പൂര്‍ണ്ണമായ ഉത്തരം കിട്ടണമെന്നില്ല.

കൂടാതെ സാമാന്യനിര്‍ദ്ധാരണത്തിനും ഗണിതം കൂടിയേ കഴിയൂ.

A:Simple Math
Answers

Comments (17)

Permalink

5. മൂന്നു കിരീടങ്ങള്‍ (Q)

മൂന്നു കിരീടങ്ങള്‍

ലോമപാദമഹാരാജാവിന്റെ ഏകമകള്‍ക്കു കല്യാണപ്രായമായി.

രാജാവാകട്ടേ പടുവൃദ്ധന്‍. ആണ്‍മക്കളുമില്ല. മകളെ വിവാഹം കഴിപ്പിച്ചിട്ടു വേണം മരുമകനു തന്റെ രാജ്യവും സമ്പത്തും കൊടുത്തിട്ടു വാനപ്രസ്ഥത്തിനോ സന്ന്യാസത്തിനോ ഫുള്‍ടൈം ബ്ലോഗെഴുത്തിനോ പോകാന്‍.

മരുമകനെ കണ്ടുപിടിക്കാന്‍ ഒരു മത്സരം നടത്താന്‍ തീരുമാനിച്ചു രാജാവു്. അറിയിപ്പു ബൂലോഗക്ലബ്ബില്‍ പ്രസിദ്ധീകരിച്ചിട്ടു അഞ്ചു മിനിട്ടു പോലും ആയില്ല, പെരിങ്ങോടന്‍ മുതല്‍ പാച്ചാളം വരെ സകലമാന ബാച്ചിലര്‍ ക്ലബ്‌ മെംബേഴ്സും കൊട്ടാരത്തിനു മുന്നില്‍ ഹാജര്‍.

മുന്നില്‍ത്തന്നെ തിക്കിത്തിരക്കി നില്‍ക്കുന്ന ശ്രീജിത്തിനോടു ദില്‍ബാസുരന്‍ ചോദിച്ചു:

“ഡേ, നീയല്ലേ പറഞ്ഞതു പെണ്‍പിള്ളേര്‍ ശല്യമാണു്, അതുങ്ങളെ വേണ്ടാ, കെട്ടിപ്പിടിക്കുകയാണെങ്കില്‍ ആണുങ്ങള്‍ തന്നെ നല്ലതു് എന്നൊക്കെ?”

“ഡാ, അതു നമ്മുടെ കാശു പിടുങ്ങി ഐസ്ക്രീമും സിനിമാടിക്കറ്റുകളും ചില്ലിചിക്കനുമൊക്കെ വഹിക്കുന്ന ശല്യങ്ങളെപ്പറ്റിയല്ലേ, വര്‍ക്കത്തുള്ള ഒറ്റയൊരെണ്ണത്തിനെ കാണാനില്ല. അതുപോലെയാണോ രാജകുമാരി?”

“ഡാ, ലേഡീസിനെപ്പറ്റി മാത്രം പറയരുതു്,” ആദിത്യന്‍ ഇടപെട്ടു, “നമ്മളിലൊരുത്തനു മാത്രമേ രാജകുമാരിയെ കിട്ടൂ, മറ്റവരെ ഇനിയും കാണാനുള്ളതാ…”

“എടാ, ഈ മൂപ്പിലാന്‍ ഇന്നോ നാളെയോ വടിയാകും, പിന്നെ ആ രാജകുമാരിയെ കെട്ടുന്നവനു എന്തൊരു കാശായിരിക്കും? രാവിലെ തൊട്ടു വൈകിട്ടു വരെ കമ്പ്യൂട്ടറുകള്‍ അഴിച്ചും പിടിപ്പിച്ചും… അല്ലാ, മറ്റേ ക്ലബ്ബിലെ ആരെയും കാണുന്നില്ലല്ലോ…”

“ഓ ലവരു മണ്ടന്മാര്‍. അവര്‍ക്കു രാജകുമാരിയേം സമ്പത്തും ഒന്നും വേണ്ടാന്നു്. സ്നേഹിക്കുന്ന താടകയെയും കുസൃതികളായ കാര്‍ക്കോടകന്മാരെയും സമാധാനപൂര്‍ണ്ണമായ കുടുംബം എന്ന നരകത്തെയും വിട്ടിട്ടു ഒരുത്തനും ഒന്നും വേണ്ടാന്നു്…”

“ഡാ, നമ്മളും അങ്ങനെ ആയിപ്പോകുമോടേ?”

“എവിടെ? ആദ്യം ആ രാജകുമാരിയെ കിട്ടട്ടേ, പിന്നെ ആ മൂപ്പിലാനൊന്നു ചത്തോട്ടേ…”

പക്ഷേ അണ്ടന്‍, അഴകോടന്‍ ആദിയായ അഭിധാനവാഹകര്‍ക്കൊന്നും മകളെ വിവാഹം കഴിച്ചുകൊടുക്കാന്‍ ലോമപാദമഹാരാജാവിനു് അശേഷം താത്‌പര്യമില്ലായിരുന്നു. അദ്ദേഹം ഒരു വലിയ മത്സരം തന്നെ സംഘടിപ്പിച്ചിരുന്നു.

ആദ്യത്തെ റൗണ്ട്‌ എളുപ്പമായിരുന്നു. മുട്ട പുഴുങ്ങുക, വണ്ടിയുടെ മൈലേജ്‌, ദൂരം, പെട്രോളിന്റെ വില എന്നിവയില്‍ നിന്നു യാത്രയുടെ ചെലവു കണക്കാക്കുക, പാറപ്പുറത്തുനിന്നു താഴെ വീഴുന്ന വെലോസിറ്റി കണ്ടുപിടിക്കുക തുടങ്ങിയ ചെറിയ ഐറ്റങ്ങള്‍. അതു കഴിഞ്ഞതോടുകൂടി മത്സരിക്കുന്നവരുടെ എണ്ണം പത്തിലൊന്നായി ചുരുങ്ങി. ഇത്രേയുള്ളോ മത്സരം എന്ന ഭാവത്തില്‍ ശേഷിച്ചവര്‍ ലഘുചിത്തരായി കാണപ്പെട്ടു.

അടുത്ത റൗണ്ട്‌ അല്‍പം കൂടി പ്രയാസമായിരുന്നു. വിശ്വത്തിന്റെ കഥ വായിച്ചു് അര്‍ത്ഥം പറയുക, ഷിജുവിന്റെ ചിത്രം വരച്ചു ഭാഗങ്ങള്‍ അടയാളപ്പെടുത്തുക, ആദിത്യന്റെ ഫോട്ടൊയില്‍ വിമാനം കണ്ടുപിടിക്കുക, കൈപ്പള്ളിയുടെ അക്ഷരത്തെറ്റുകള്‍ തിരുത്തുക, മലയാളം കീബോര്‍ഡ്‌ ഉപയോഗിച്ചു “ക്രൗഞ്ചം ശ്രുതിയിലുണര്‍ത്തും നിസ്വനം മദ്ധ്യമം” എന്നെഴുതുക, ബിന്ദുവും സന്തോഷുമുള്ള ബ്ലോഗില്‍ നൂറാമത്തെ കമന്റിടുക തുടങ്ങി നല്ല വിഷമമുള്ള ചോദ്യങ്ങള്‍ തന്നെ. വിജയികളുടെ എണ്ണം കുറഞ്ഞുകൊണ്ടേ ഇരുന്നു.

അടുത്ത റൗണ്ട്‌ ഡിബേറ്റ്‌/ഗ്രൂപ്പ്‌ ഡിസ്കഷന്‍ ആയിരുന്നു. ചില്ലിനു എന്‍കോഡിംഗ്‌ വേണോ, സംവൃതോകാരത്തിനു ചന്ദ്രക്കല മതിയോ, അദ്വൈതത്തില്‍ ക്വാണ്ടം മെക്കാനിക്സ്‌ ഉണ്ടോ, മനുസ്മൃതി ഇന്നും പ്രസക്തമാണോ, ആണും ആണും കെട്ടിപ്പിടിക്കാമോ, ജ്യോതിഷം ഒരു ശാസ്ത്രമാണോ, സിന്ധു നദിയില്‍ കുതിരയായിരുന്നോ കാളയായിരുന്നോ, ചെസ്സുകളിക്കുന്നവനെ സഹായിക്കണോ വേണ്ടയോ തുടങ്ങിയ കാര്യങ്ങളില്‍ ഘോരഘോരം വാഗ്വാദങ്ങള്‍ നടത്തി. ഈ റൗണ്ടില്‍ കാര്യമായി ആരും തന്നെ പുറത്തായില്ല.

പിന്നീടാണു ബുദ്ധിപരീക്ഷ വന്നതു്. പച്ചാനയുടെ പള്ളിക്കൂടം കണക്കു മുതല്‍ പണിക്കര്‍ മാഷിന്റെ സംസ്കൃതശ്ലോകം വരെ പല പല പസ്സിലുകള്‍. ബാച്ചിലേഴ്സൊക്കെ മന്‍ജിത്തിന്റെ ബ്ലോഗിലെ അനോണിക്കമന്റുകള്‍ പോലെ തുരുതുരാന്നു് അപ്രത്യക്ഷമാകാന്‍ തുടങ്ങി.

ചടങ്ങു കഴിഞ്ഞപ്പോള്‍ മൂന്നു പേര്‍ ശേഷിച്ചു-കനിഷ്കന്‍, ഖട്വാംഗന്‍, ഗജേന്ദ്രന്‍ എന്നിവര്‍. (ഘടോല്‍ക്കചന്‍ അവസാനത്തെ റൗണ്ടിലാണു പുറത്തായതു്.) അതിബുദ്ധിമാന്മാര്‍. നോബല്‍ സമ്മാനം കിട്ടിയ പ്രബന്ധങ്ങളില്‍ ഓടിച്ചു വായിച്ചിട്ടു തെറ്റു കണ്ടുപിടിക്കുന്നവര്‍. കണ്ണുകെട്ടി ഗാരി കാസ്പറൊവിനെയും വിശ്വനാഥന്‍ ആനന്ദിനെയും ഒരേ സമയം ചതുരംഗം കളിച്ചു തോല്പിക്കുന്നവര്‍. ഗന്ധര്‍വ്വന്റെ കമന്റുകളില്‍ സന്തോഷ് പറഞ്ഞ മാതിരി കുത്തും കോമയും ചേര്‍ക്കാന്‍ കഴിവുള്ളവര്‍.

രാജാവു് അവരെ അഞ്ചു കിരീടങ്ങള്‍ കാണിച്ചു.

എല്ലാം സ്വര്‍ണ്ണക്കിരീടങ്ങള്‍. മിക്കവാറും ഒരുപോലെ ഇരിക്കും. ഒരു വ്യത്യാസം മാത്രം. മൂന്നെണ്ണത്തില്‍ സിംഹത്തിന്റെ രൂപം കൊത്തിവെച്ചിട്ടുണ്ടു്; രണ്ടെണ്ണത്തില്‍ കടുവയുടെയും.

“നിങ്ങള്‍ എല്ലാവരും കണ്ണടച്ചു നില്‍ക്കണം,” രാജാവു പറഞ്ഞു, “ഞാന്‍ നിങ്ങളുടെ തലയില്‍ ഓരോ കിരീടം വെയ്ക്കും. ബാക്കി രണ്ടെണ്ണം നിങ്ങള്‍ കാണാതെ ഒളിച്ചു വെയ്ക്കും. തന്റെ തലയില്‍ ഇരിക്കുന്ന കിരീടം സിംഹത്തിന്റെയാണോ കടുവയുടെയാണോ എന്നു പറയുന്നവനു രാജ്യവും രാജകുമാരിയും…”

“സ്വന്തം തലയിലെ കിരീടം കാണാന്‍ അനുവദിക്കുന്നതല്ല. മറ്റുള്ളവരുടെ തലയിലെ കിരീടം കാണുകയും ചെയ്യാം…”

“ഉത്തരം പറയാതിരിക്കുവാന്‍ നിങ്ങള്‍ക്കു സ്വാതന്ത്ര്യമുണ്ടു്. അങ്ങനെ ചെയ്താല്‍ നിങ്ങള്‍ക്കു തിരിച്ചുപോകാം. മൂന്നു പേരും ഉത്തരം പറഞ്ഞില്ലെങ്കില്‍ രാജകുമാരി കന്യകയായി നില്‍ക്കട്ടേ…”

“തെറ്റായ ഉത്തരം പറഞ്ഞാല്‍ അടുത്ത നിമിഷം അയാളുടെ കഴുത്തു വെട്ടും. അതുകൊണ്ടു നല്ല ഉറപ്പുണ്ടെങ്കില്‍ മാത്രം പറയുക…”

“പിന്നെ, തല കുലുക്കി കിരീടം താഴെയിട്ടു നോക്കുക, കിരീടത്തില്‍ തപ്പി നോക്കുക, “പ്ലീസ്‌ പ്ലീസ്‌ രാജകുമാരിയെ എനിക്കു തരൂ” എന്നു പറഞ്ഞു കരഞ്ഞുകാണിച്ചു കണ്ണുനീരില്‍ കിരീടത്തിന്റെ പ്രതിഫലനം നോക്കുക, മറ്റുള്ളോരോടു ചോദിക്കുക തുടങ്ങിയ ഫ്രോഡു വല്ലതും കാണിച്ചാല്‍ ഫലം ഭയാനകമായിരിക്കും. നിങ്ങളുടെ ഓരോ അവയവമായി ഛേദിച്ചു കൊല്ലാക്കൊല ചെയ്യും. അല്ലെങ്കില്‍ ബൂലോഗക്ലബ്ബിന്റെ അഡ്‌മിനിസ്ട്രേറ്ററാക്കും. ഫ്രോഡു കാണിക്കുന്നതു തീരെ സഹിക്കില്ല ലോമപാദന്‍!”

ബാച്ചിലന്മാര്‍ കിടുങ്ങി വിറച്ചു. അതു് ഒരിക്കലും ഉണ്ടാവില്ല എന്നു ബോധിപ്പിച്ചു. ഉണ്ടായാലും ആദ്യത്തെ ശിക്ഷയേ തരാവൂ എന്നു അപേക്ഷിച്ചു.

എല്ലാവരും കണ്ണടച്ചു നിന്നപ്പോള്‍ രാജാവു മൂന്നുപേരുടെയും തലയില്‍ സിംഹത്തിന്റെ കൊത്തുപണിയുള്ള കിരീടം വെച്ചു. കടുവക്കിരീടങ്ങള്‍ രണ്ടും ഒളിപ്പിക്കുകയും ചെയ്തു. ഇനി കണ്ണു തുറന്നോളാന്‍ പറഞ്ഞു.

മറ്റു രണ്ടു പേരുടെയും തലയില്‍ സിംഹക്കിരീടങ്ങളാണെന്നു മൂന്നു പേരും കണ്ടു. തന്റെ തലയിലെ കിരീടത്തെപ്പറ്റിയോര്‍ത്തു് അവര്‍ ചിന്താക്രാന്തരായി.

“മറ്റു രണ്ടു പേരുടെയും തലയില്‍ കടുവക്കിരീടം കണ്ടിരുന്നെങ്കില്‍ എളുപ്പമായിരുന്നു, അപ്പോള്‍ തന്റെ തലയില്‍ സിംഹക്കിരീടമാണു് എന്നു പറയാന്‍ എളുപ്പമാണല്ലോ” എന്നു മൂന്നു പേരും ചിന്തിച്ചു. ഇപ്പോള്‍ ഒരു സിംഹക്കിരീടവും രണ്ടു കടുവാക്കിരീടവും ബാക്കിയുണ്ടല്ലോ, അതിലേതായിരിക്കും തന്റെ തലയില്‍ എന്നാലോചിച്ചു് ഇഞ്ചിയുടെ കഥ വായിച്ചതിനേക്കാളും വട്ടായി.

കുറേ നേരം ഒരു ശ്മശാനമൂകത. കനിഷ്കന്‍ ഖട്വാംഗനെ നോക്കി. ഖട്വാംഗന്‍ ഗജേന്ദ്രനെ നോക്കി. ഗജേന്ദ്രന്‍ കനിഷ്കനെ നോക്കി.

അതു കഴിഞ്ഞു ഡയറക്‍ഷന്‍ മാറ്റി. ഗജേന്ദ്രന്‍ ഖട്വാംഗനെയും ഖട്വാംഗന്‍ കനിഷ്കനെയും കനിഷ്കന്‍ ഗജേന്ദ്രനെയും നോക്കി.

ആരും ഒന്നും പറയുന്നില്ല.

അതു കഴിഞ്ഞു ഓരോരുത്തനും മറ്റു രണ്ടുപേരെയും നോക്കി. തുറിച്ചും തുറിക്കാതെയും നോക്കി. ആര്‍ക്കും ഒരു ക്ലൂവും കിട്ടുന്നില്ല.

പെട്ടെന്നു്, ഗജേന്ദ്രന്‍ “യുറേക്കാ” എന്നു പറഞ്ഞു. കിരീടത്തിന്റെ പ്രശ്നം സോള്‍വു ചെയ്താല്‍ എല്ലാ മഹാന്മാരും പറയുന്ന വാക്കു്. ശരീരത്തില്‍ വസ്ത്രമുള്ളതുകൊണ്ടു മാത്രം രാജവീഥിയിലൂടെ ഓടിയില്ല.

“എന്റെ തലയില്‍ സിംഹത്തിന്റെ കിരീടമാണു്,” ഗജേന്ദ്രന്‍ അലറി.

“കൊള്ളാം,” രാജാവു ചോദിച്ചു, “നീ എങ്ങനെ ഇതു കണ്ടുപിടിച്ചു?”

എങ്ങനെ കണ്ടുപിടിച്ചു? നിങ്ങള്‍ പറയൂ.


(ക്ലൂ: ഇതിന്റെ പല ക്ലൂകളും ചോദ്യത്തില്‍ത്തന്നെയുണ്ടു്.)


ഇതില്‍ ഇനി കമന്റുകള്‍ അനുവദിച്ചിട്ടില്ല. ഉത്തരം ഇവിടെ.

Q:Logical
Questions

Comments (42)

Permalink

3. രണ്ടു ചോദ്യം, ഒരുത്തരം (A)

ചോദ്യം:

ചോദ്യം ഇവിടെ.

ഉത്തരം:

ഇതു പഴയ ഒരു ചോദ്യമാണു്.

വാത്സല്യപാത്രമെന്താകും?
സത്സമ്പത്തുകളെന്തു താന്‍?
പണ്ഡിതന്മാരുരയ്ക്കട്ടേ
രണ്ടിനും ചേര്‍ന്നൊരുത്തരം

എന്നായിരുന്നു. ഈ ബ്ലോഗ് തുടങ്ങാന്‍ പരിപാടിയുമായി അഭിപ്രായം ചോദിച്ചപ്പോള്‍ സിബു ഈ കമന്റിട്ടു:

മക്കളല്ലേ?

ശരിയാണല്ലോ. അതുകൊണ്ടു്, “സത്സമ്പത്തുകളെന്തു താന്‍?” എന്നതു മാറ്റി “അവശ്യം വേണ്ടതെന്തു താന്‍?” എന്നു മാറ്റി. അപ്പോഴും അരവിന്ദന്‍, ജേക്കബ്, പുള്ളി എന്നിവരുടെയും അഭിപ്രായം “മക്കള്‍” എന്നു തന്നെയായിരുന്നു.

വേറിട്ട ഒരു ഉത്തരം പുള്ളി ആണു നല്‍കിയതു്-താതന്‍. ഈ വാക്കിനു് അച്ഛന്‍ എന്നും മകന്‍ എന്നും അര്‍ത്ഥമുണ്ടു്. വാത്സല്യപാത്രമെന്താകും എന്നതിനു മകന്‍ എന്നും, അവശ്യം വേണ്ടതെന്തു താന്‍ എന്നതിനു് അച്ഛന്‍ എന്നും. പുള്ളിയുടെ വരികള്‍:

താതന്‍ (താതഃ)
tata [ tâta ] m. father: voc. dear (addressing elders, superiors, children, or pupils).
എന്നു സംസ്കൃത നിഘണ്ടു.
വാത്സല്യം കുട്ടിയോടും ഏറ്റവും വേണ്ടത് പിതാവും. (ക്ലോണിംഗിനു മുന്‍പു വരെ)

രസകരമായ ഉത്തരം!

അതുകൊണ്ടു് അതിനെ വീണ്ടും മാറ്റി-“മനസ്സില്‍ വേണ്ടതെന്തു താന്‍?” എന്നു്. അതിനു ശേഷം ഉത്തരമൊന്നും കിട്ടിയില്ല.

ഈ ചോദ്യം പണ്ടു ചോദിച്ച ആളിന്റെ ഉത്തരം “നന്മകള്‍” എന്നായിരുന്നു.

  • വാത്സല്യപാത്രമെന്താകും? നല്‍ + മകള്‍ (നല്ല മകള്‍)
  • സത്സമ്പത്തുക്കളെന്തു താന്‍/ അവശ്യം വേണ്ടതെന്തു താന്‍/ മനസ്സില്‍ വേണ്ടതെന്തു താന്‍? നന്മ-കള്‍.

എല്ലാവരുടെയും ഉത്തരം ശരി. നന്ദി.

A:Language
Answers

Comments (1)

Permalink

4. എടത്താടന്‍ മുത്തപ്പനും ചെക്കിലെ പിശകും (Q)

ചെക്കു കൊടുത്തു് ഒരു ബാങ്കില്‍ നിന്നു പണമെടുക്കാന്‍ പോയതാണു ഞാന്‍.

ഗള്‍ഫില്‍ ഏറെ നാള്‍ ജോലി ചെയ്ത പണം കൊണ്ടു് വിശാലമനസ്കന്‍ കൊടകരയില്‍ ഒരു ബാങ്ക് കം ബ്ലേഡുകമ്പനി കം അക്കൌണ്ടിംഗ് കണ്‍സള്‍ടന്‍സി കമ്പനി തുടങ്ങി. ഹെഡാഫീസ് കൊടകരയില്‍. ബ്രാഞ്ച് ജെബല്‍ അലിയില്‍. ഡെയിലി ഒരുപാടു ട്രാന്‍സാക്‍ഷന്‍സ് ഇവയ്ക്കിടയിലുണ്ടു്. എടത്താടന്‍ കണ്ടാരമുത്തപ്പന്റെ കൃപ കൊണ്ടു ബിസിനസ്സൊക്കെ ജോറായി നടക്കുന്നു.

ഹെഡാഫീസിലെ പ്രെസിഡന്റ്, സീ ഈ ഓ, ടെല്ലര്‍, കാഷ്യര്‍, പ്യൂണ്‍, അക്കൌണ്ടന്റ് തുടങ്ങിയ എല്ലാ പോസ്റ്റുകളിലും ബാലചന്ദ്രമേനോനെപ്പോലെ വിശാലന്‍ തന്നെ ഇരിക്കുന്നു.

ബിസിനസ് തുടങ്ങിയെങ്കിലും ചുള്ളന്‍ ബ്ലോഗിംഗ് നിര്‍ത്തിയിട്ടില്ല. “കൊടകര പുരാണം” നാട്ടുകാരെ പേടിച്ചു നിര്‍ത്തി. ഇപ്പോളെഴുതുന്നതു “ജെബല്‍ അലി പുരാണം” ആണു്. ഇദ്ദേഹം ഗള്‍ഫില്‍ ജോലി ചെയ്തിരുന്ന കാലത്തു കണ്ടു, കേട്ടു എന്നൊക്കെ പറഞ്ഞു കുറേ പുളു എഴുതി വിടുകയാണു പണി. പറഞ്ഞിട്ടെന്താ, കഴിഞ്ഞ പന്ത്രണ്ടു കൊല്ലമായി ഏറ്റവും നല്ല അറബി ബ്ലോഗിനുള്ള അവാര്‍ഡ് ഇങ്ങേര്‍ക്കു തന്നെ-ബംഗാളില്‍ ജ്യോതി ബസു പണ്ടു് ഇരുന്നതുപോലെ. എല്ലാം കണ്ടാരമുത്തപ്പന്റെ കൃപാകടാക്ഷം!

ഒരു കുഴപ്പമേ ഉള്ളൂ. ബാങ്കിലിരുന്നാണു ബ്ലോഗെഴുത്തു്. രണ്ടും കൂടി ചെയ്യുമ്പോള്‍ ആകെ കണ്‍ഫ്യൂഷനാണു്. വരവും ചെലവും തെറ്റും. രൂപയും പൈസയും തെറ്റും. ഇടത്തുനിന്നു വലത്തോട്ടു വായിക്കുന്നതിനു പകരം വലത്തു നിന്നു് ഇടത്തോട്ടു വായിക്കും.

ഹവ്വെവര്‍, മുത്തപ്പന്റെ കൃപ കൊണ്ടു് അധികം കസ്റ്റമേഴ്സ് ഇല്ലാത്തതു കൊണ്ടു് വലിയ ബുദ്ധിമുട്ടില്ലാതെ എല്ലാം മുന്നോട്ടു പോകുന്നു.

ഈ ബാങ്കിലാണു് എന്റെ സകല സമ്പാദ്യവും. ഞാനും ഇപ്പോള്‍ നാട്ടിലാണു്. തൃശ്ശൂരൊരു പുസ്തകശാലയില്‍ പ്രൂഫ്‌റീഡറായി ജോലി നോക്കുന്നു. അവരുടെ ഠാവട്ടത്തില്‍ മാത്രം പ്രചാരമുള്ള ഒരു പത്രത്തിന്റെ ഞായറാഴ്ചപ്പതിപ്പില്‍ ഒരു കോളവും എഴുതുന്നുണ്ടു്.

ഞാന്‍ വിശാലനു് ഒരു സ്ഥിരം തലവേദനയാണു്. (പണ്ടും അതു തന്നെ. എന്നെ പേടിച്ചാണു മലയാളത്തില്‍ എഴുത്തു നിര്‍ത്തി അറബിയാക്കിയതു് എന്നും ഒരു ശ്രുതിയുണ്ടു്. ഉറക്കത്തില്‍ എന്നും എന്നെ സ്വപ്നം കണ്ടു നിലവിളിക്കുമായിരുന്നത്രേ!) പഴയതിലും പിശുക്കനായിരിക്കുന്നു. കൃത്യസംഖ്യയ്ക്കേ ചെക്കെഴുതൂ. ഉദാഹരണമായി 14 രൂപാ 87 പൈസ. കൃത്യം തുക കിട്ടുകയും വേണം. ഒന്നു്, അഞ്ചു്, പത്തു്, ഇരുപതു്, ഇരുപത്തഞ്ചു് തുടങ്ങിയ പൈസകള്‍ വിശാലന്‍ എനിക്കു തരുന്നതു് മുത്തപ്പന്റെ ഭണ്ഡാരപ്പെട്ടിയില്‍ നിന്നാണു് എന്നൊരു സ്ഥിരീകരിക്കപ്പെടാത്ത ശ്രുതിയുമുണ്ടു്.

ചെക്കെഴുതി കൊടുത്തു. വിശാലന്‍ പതിവുപോലെ ബ്ലോഗിംഗിലായിരുന്നു. ഞാന്‍ എഴുതിയതിലെ രൂപയെ പൈസയാക്കിയും പൈസയെ രൂപയാക്കിയും കണക്കാക്കി ആ തുക എനിക്കു തന്നു. അതു ഞാനൊട്ടു് അറിഞ്ഞുമില്ല.

ഉദാഹരണമായി, ഞാന്‍ 15 രൂപാ 50 പൈസയുടെ ചെക്കാണു കൊടുത്തതെങ്കില്‍, 50 രൂപാ 15 പൈസയാണു് വിശാലന്‍ എനിക്കു തന്നതെന്നര്‍ത്ഥം.

ഞാന്‍ അതില്‍ നിന്നു് അഞ്ചു പൈസ വിശാലന്റെ മേശപ്പുറത്തിരുന്ന മുത്തപ്പന്റെ ഭണ്ഡാരപ്പെട്ടിയിലിട്ടു. അളവറ്റ ധനം തരാന്‍ ത്രാണിയുള്ളവനത്രേ മുത്തപ്പന്‍. പലര്‍ക്കും കയ്യിലുള്ള പണം ഞൊടിയിടയ്ക്കുള്ളില്‍ ഇരട്ടിയാക്കിയിട്ടുണ്ടത്രേ!

വെളിയിലിറങ്ങി പണം എണ്ണി നോക്കിയപ്പോള്‍ ഞാന്‍ അന്തം വിട്ടു പോയി. ചോദിച്ചതിന്റെ ഇരട്ടി തന്നിരിക്കുന്നു മുത്തപ്പന്‍!

മുന്‍പു കൊടുത്ത ഉദാഹരണത്തില്‍ 50 രൂപാ 15 പൈസയില്‍ 5 പൈസ പോയിട്ടു ബാക്കിയുള്ള 50 രൂപാ 10 പൈസ ഞാന്‍ ചോദിച്ച 15 രൂപ 50 പൈസയുടെ കൃത്യം ഇരട്ടിയാകുന്നതു് ഒന്നു സങ്കല്പിച്ചേ. ആ അദ്ഭുതമാണു് അവിടെ നടന്നതു്.

“ജയ് മുത്തപ്പാ” എന്നു് ഒന്നുകൂടി പറഞ്ഞു് ഞാന്‍ വീട്ടിലേക്കു പോയി.

എത്ര തുകയ്ക്കാണു് ഞാന്‍ ചെക്കു കൊടുത്തതു്?


ഇതിന്റെ ഉത്തരം ഒരു കമ്പ്യൂട്ടര്‍ പ്രോഗ്രാം എഴുതിയോ ഒന്നു മുതല്‍ 99 വരെയുള്ള എല്ലാ മൂല്യങ്ങളും പരീക്ഷിച്ചോ കണ്ടുപിടിക്കാം. അങ്ങനെയല്ലാതെ ഗണിതരീതികള്‍ ഉപയോഗിച്ചു കണ്ടുപിടിക്കുക.

2006 ഒക്ടോബര്‍ 8 വരെയെങ്കിലും ഉത്തരങ്ങള്‍ കമന്റായി നല്‍കാവുന്നതാണു്.


ഇതില്‍ ഇനി കമന്റുകള്‍ അനുവദിച്ചിട്ടില്ല. ഉത്തരം ഇവിടെ.

Q:Simple Math
Questions

Comments (33)

Permalink

3. രണ്ടു ചോദ്യം, ഒരുത്തരം (Q)

മലയാളത്തിലും സംസ്കൃതത്തിലും പദ്യരൂപത്തിലുള്ള ഒരു പ്രത്യേകതരം പ്രശ്നങ്ങളുണ്ടു്. ഒന്നിലധികം അര്‍ത്ഥമുള്ള ഒരുത്തരം എല്ലാ ചോദ്യങ്ങളുടെയും ഉത്തരമായി വരുന്നതാണു് ഇതിന്റെ രീതി.

അത്തരം ഒരു പ്രശ്നമാണിതു്. രണ്ടു ചോദ്യം, ഒരുത്തരം.

വാത്സല്യപാത്രമെന്താകും?
ഏറ്റവും മനസ്സില്‍ വേണ്ടതെന്തു താന്‍?
പണ്ഡിതന്മാരുരയ്ക്കട്ടേ
രണ്ടിനും ചേര്‍ന്നൊരുത്തരം

അതായതു്, രണ്ടു ചോദ്യങ്ങളുണ്ടു്:

  1. ആരാണു വാത്സല്യഭാജനം?
  2. ഒരു മനുഷ്യനു് ഏറ്റവും മനസ്സില്‍ വേണ്ടതു് എന്താണു്?

ഇതിനു രണ്ടിനും ഉത്തരമാകുന്ന ഒരു വാക്കോ വാക്യമോ പറയണം.


2006 ഒക്റ്റോബര്‍ 7 വരെയെങ്കിലും ഉത്തരം കമന്റായി ചേര്‍ക്കാം.


ഇതില്‍ ഇനി കമന്റുകള്‍ അനുവദിച്ചിട്ടില്ല. ഉത്തരം ഇവിടെ.

Q:Language
Questions

Comments (7)

Permalink

2. മൂന്നു പെട്ടികളും ലേബലും (A)

ചോദ്യം:

ചോദ്യം ഇവിടെ.

ഉത്തരം:

“സ്വര്‍ണ്ണമോ വെള്ളിയോ” എന്ന ലേബലുള്ള പെട്ടി തുറക്കുക. അതില്‍ ഒന്നുകില്‍ സ്വര്‍ണ്ണം മാത്രം, അല്ലെങ്കില്‍ വെള്ളി മാത്രം ആയിരിക്കുമല്ലോ.

  • സ്വര്‍ണ്ണം മാത്രമെങ്കില്‍ “സ്വര്‍ണ്ണമോ വെള്ളിയോ” എന്ന ലേബല്‍ “വെള്ളി മാത്രം” എന്ന പെട്ടിയിലും, “വെള്ളി മാത്രം” എന്ന ലേബല്‍ “സ്വര്‍ണ്ണം മാത്രം” എന്ന പെട്ടിയിലും ഒട്ടിക്കുക. “സ്വര്‍ണ്ണം മാത്രം” എന്ന ലേബല്‍ ഇപ്പോള്‍ തുറന്ന പെട്ടിയില്‍ ഒട്ടിക്കുക.
  • വെള്ളി മാത്രമെങ്കില്‍ “സ്വര്‍ണ്ണമോ വെള്ളിയോ” എന്ന ലേബല്‍ “ സ്വര്‍ണ്ണം മാത്രം” എന്ന പെട്ടിയിലും, “സ്വര്‍ണ്ണം മാത്രം” എന്ന ലേബല്‍ “വെള്ളി മാത്രം” എന്ന പെട്ടിയിലും ഒട്ടിക്കുക. “വെള്ളി മാത്രം” എന്ന ലേബല്‍ ഇപ്പോള്‍ തുറന്ന പെട്ടിയില്‍ ഒട്ടിക്കുക.

മൂന്നെണ്ണത്തില്‍ എല്ലാം തെറ്റാണെങ്കില്‍ അതിനു് ഒരു ചാക്രികപരിക്രമണം (cyclic rotation) ആവശ്യമാണു്. റൂബിക് ക്യൂബിന്റെ മൂലയിലുള്ള കട്ട പോലെ. അതു പ്രദക്ഷിണദിശയിലോ (clockwise direction) പ്രവാമദിശയിലോ (counter-clockwise direction) എന്നതു കണ്ടുപിടിക്കണം. അതിനു് ഏതെങ്കിലും ഒന്നു തുറന്നാല്‍ മതി. ഉദാഹരണത്തിനു്, ലേബലുകള്‍ “സ്വര്‍ണ്ണം”, “വെള്ളി”, “ചെമ്പു്” എന്നിങ്ങനെ ആയിരുന്നെങ്കില്‍ ഏതു തുറന്നാലും മതിയായിരുന്നു.

ഇവിടെ അതു “സ്വര്‍ണ്ണമോ വെള്ളിയോ” എന്ന ലേബലുള്ളതു തുറന്നാലേ പറ്റൂ. കാരണം, ഉദാഹരണത്തിനു “സ്വര്‍ണ്ണം” എന്നെഴുതിയ പെട്ടിയാണു് ആദ്യം തുറക്കുന്നതെങ്കില്‍, അതില്‍ വെള്ളി മാത്രം കണ്ടാല്‍, അതിന്റെ ശരിക്കുള്ള ലേബല്‍ “വെള്ളി മാത്രം” ആണോ “സ്വര്‍ണ്ണമോ വെള്ളിയോ” ആണോ എന്നറിയാന്‍ കഴിയില്ല.

നേരേ മറിച്ചു്, “സ്വര്‍ണ്ണമോ വെള്ളിയോ” എന്നതിനു പകരം “സ്വര്‍ണ്ണവും വെള്ളിയും” എന്ന ലേബലാണെങ്കില്‍, അതായതു രണ്ടും ഉണ്ടെന്നു് ഉറപ്പാണെങ്കില്‍ ഏതു പെട്ടി തുറന്നാലും മതി.

ഗുരുകുലത്തില്‍ ഈ ചോദ്യം ചോദിച്ചപ്പോള്‍ പുള്ളി ഇങ്ങനെ ചുരുക്കിപ്പറഞ്ഞു:

മൂന്നു പെട്ടിയിലും തെറ്റായലേബലായ സ്ഥിതിക്കു ഒന്നുതുറന്നു നോക്കി അതിലുള്ളസാധനത്തിന്റെ ലേബല്‍ മറ്റു രണ്ടില്‍ ഒന്നില്‍ നിന്നെടുത്ത്‌ അതിലൊട്ടിക്കുക. പിന്നെ അതിലുള്ള ലേബല്‍ മൂന്നാം പെട്ടിയിലും മൂന്നാം പെട്ടിയിലെ ലേബല്‍ രണ്ടാം പെട്ടിയിലും ഒട്ടിക്കുക.

ചോദ്യത്തില്‍ “സ്വര്‍ണ്ണവും വെള്ളിയും” എന്നായതുകൊണ്ടാണു് ഇങ്ങനെയൊരു ഉത്തരം കിട്ടിയതു്.

A:Logical
Answers

Comments (3)

Permalink

2. മൂന്നു പെട്ടികളും ലേബലും (Q)

മൂന്നു പെട്ടികള്‍. മൂന്നിലും ആഭരണങ്ങള്‍. മൂന്നിന്റെ പുറത്തും ലേബലുണ്ടു്. “സ്വര്‍ണ്ണം മാത്രം”, “വെള്ളി മാത്രം”, “സ്വര്‍ണ്ണമോ വെള്ളിയോ” എന്നു മൂന്നു ലേബലുകള്‍. മൂന്നു പെട്ടിയിലും തെറ്റായ ലേബലാണുള്ളതെന്നു നമ്മളോടു പറഞ്ഞിട്ടുണ്ടു്. ഒരു പെട്ടി മാത്രം തുറന്നുനോക്കാന്‍ നമുക്കു് അനുവാദമുണ്ടു്.

ഒരു പെട്ടി മാത്രം തുറന്നു നോക്കിയിട്ടു് മൂന്നു പെട്ടിയുടെയും ലേബല്‍ ശരിയാക്കണം. എങ്ങനെ?


ഇതില്‍ ഇനി കമന്റുകള്‍ അനുവദിച്ചിട്ടില്ല. ഉത്തരം ഇവിടെ.

Q:Logical
Questions

Comments Off on 2. മൂന്നു പെട്ടികളും ലേബലും (Q)

Permalink

1. ഒന്നിച്ചു വരുന്ന സൂചികള്‍ (A)

ചോദ്യം:

ചോദ്യം ഇവിടെ.

ഉത്തരം:

  1. ഗണിതശാസ്ത്രത്തില്‍ വളരെയധികം വിവരവും വിദ്യാഭ്യാസവുമുള്ള ഒരു സുഹൃത്തിനോടു് (അദ്ദേഹത്തിനു് ഇപ്പോള്‍ ഒരു Ph. D. ഉണ്ടു്) ഈ ചോദ്യം ചോദിച്ചപ്പോള്‍ അദ്ദേഹം ഇങ്ങനെ സോള്‍‌വു ചെയ്തു:

    മിനിറ്റു സൂചിയുടെ ആംഗുലര്‍ വെലോസിറ്റി = radians/minute

    മണിക്കൂര്‍ സൂചിയുടെ ആംഗുലര്‍ വെലോസിറ്റി = radians/minute

    t മിനിട്ടു കഴിഞ്ഞാല്‍ അവ രണ്ടും ഒരു ദിശയിലാവും എന്നു വിചാരിക്കുക. അപ്പോള്‍

    രണ്ടു വശത്തെയും കൊണ്ടു ഗുണിച്ചാല്‍

    അതായതു്,

    ഇതു് അതിന്റെ സാമാന്യമായ ഉത്തരമാണു്. n-നു് ഏതു പൂര്‍ണ്ണസംഖ്യ കൊടുത്താലും ഒരു ഉത്തരം കിട്ടും. (0 എന്നു കൊടുത്താല്‍ 12 മണി തന്നെ.) 1 എന്ന വില കൊടുത്താല്‍

    മിനിട്ട് = 1 മണിക്കൂര്‍ 5 മിനിട്ട് 27.272727… സെക്കന്റ് എന്നു കിട്ടും.

    ഇതാണു കണക്കു കൂടുതല്‍ പഠിച്ചാലുള്ള ഒരു കുഴപ്പം. എല്ലാം സങ്കീര്‍ണ്ണമായേ അവര്‍ക്കു ചെയ്യാന്‍ പറ്റുകയുള്ളൂ! എത്ര പശുക്കളുണ്ടെന്നു കണ്ടുപിടിക്കാന്‍ അവര്‍ മൊത്തം കാലുകള്‍ എണ്ണിനോക്കിയിട്ടു നാലു കൊണ്ടു ഹരിച്ചു് ഉത്തരം കണ്ടുപിടിക്കും :)

  2. വളരെയധികം സമര്‍ത്ഥയും അതിലേറെ മടിച്ചിയും എന്തു പ്രശ്നം കിട്ടിയാലും അതു മാത്രം ചെയ്യാനുള്ള ഏറ്റവും എളുപ്പമുള്ള വഴിയുടെ പുറകേ പോകുന്നവളുമായ ഒരു സുഹൃത്തിനോടു ചോദിച്ചപ്പോള്‍ അവള്‍ ഇങ്ങനെ ചെയ്തു.

    1:05-നു ശേഷമാണല്ലോ ഇതുണ്ടാകുന്നതു്. ഇതു് 1:05 കഴിഞ്ഞു് മിനിട്ടു കഴിഞ്ഞു സംഭവിക്കുന്നു എന്നു കരുതുക. മിനിട്ടു സൂചിയ്ക്കു് മണിക്കൂര്‍ സൂചിയുടെ പന്ത്രണ്ടിരട്ടി വേഗതയുണ്ടു്. അതുകൊണ്ടു്

    മിനിട്ട് = 27.272727… സെക്കന്റ്.

    1:05-നു ശേഷം 27.272727… സെക്കന്റ് കഴിഞ്ഞാല്‍ ഇതു സംഭവിക്കും.

    ആള്‍ജിബ്ര ഉപയോഗിച്ചു വളരെ ലളിതമായ ഒരു നിര്‍ദ്ധാരണം. ഇങ്ങിനെയാവും ഹൈസ്കൂള്‍ വിദ്യാഭ്യാസമുള്ള, എന്നാല്‍ അധികം കണക്കു പഠിക്കാത്ത, അധികം പേരും ചെയ്യുന്നതു്.

  3. ഇതു ചെയ്യാന്‍ ആള്‍ജിബ്രയും വേണ്ട എന്നതാണു വസ്തുത. ആറാം ക്ലാസ്സില്‍ പഠിക്കുമ്പോള്‍ ഞാന്‍ ഇതു സോള്‍വു ചെയ്തതു്:

    12 മണി കഴിഞ്ഞാല്‍ പിന്നെ 1:05 കഴിഞ്ഞു് ഇതു സംഭവിക്കും. പിന്നെ 2:10+, പിന്നെ 3:15+, 4:20+, 5:25+, 6:30+, 7:35+, 8:40+, 9:45+, 10:50+, 11:55+ എന്നീ സമയങ്ങളിലും സംഭവിക്കും. ഇതില്‍ 11:55+ എന്നതു് അടുത്ത 12 മണി തന്നെയാണു്. അതായതു്, 12 മണിക്കൂറിനിടയില്‍ ഇതു 11 തവണ ഉണ്ടാകും. അതിനാല്‍ ഒരു തവണ ഉള്ള സമയം = മിനിട്ട് = 1 മണിക്കൂര്‍ 5 മിനിട്ട് 27.272727… സെക്കന്റ്.

എങ്ങനെ ചെയ്താലും ഒരേ ഉത്തരം. ഇതാണല്ലോ ഗണിതത്തിന്റെ ഒരു മഹത്ത്വം!

A:Simple Math
Answers

Comments (2)

Permalink