ബുദ്ധിപരീക്ഷ

ഈ പസ്സില്‍ ഇവിടെ ഇട്ടതു നന്നായി. അതിബുദ്ധിമാനായ കലേഷിനു കാര്യമെല്ലാം മനസ്സിലായി. സിദ്ധാര്‍ത്ഥനെ വിളിച്ചു പറഞ്ഞു:

“പ്രിയ ഗൂഢാലോചനക്കാരാ, യൂ. ഏ. ഈ. മീറ്റിന്റെ ഏഴയലത്തു താങ്കളെ കണ്ടുപോയേക്കരുതു്…”

കലേഷ് അങ്ങനെയാണു്. ആരോടും ബഹുമാനത്തോടു കൂടിയേ സംസാരിക്കൂ.

“അപ്പോ അതെങ്ങനെയാ? ഞാന്‍ എല്ലാം അറേഞ്ച് ചെയ്തു ഗ്രില്ലും ബുക്കു ചെയ്തു്…”

“ഗ്രില്ലും പുല്ലുമൊന്നും വേണ്ടാ. എല്ലാം ഞാന്‍ മാനേജ് ചെയ്തോളാം. ങാ, സ്ഥലം വിടു്…”

“എന്നാല്‍ ഞാനും ദില്‍ബനും കൂടി ഇപ്പോള്‍ത്തന്നെ നിങ്ങളെയെല്ലാവരെയും ഈ മീറ്റില്‍ നിന്നു പുറത്താക്കുന്നു…”

“ദില്‍ബനെ വെറുതേ വിടു്. അവനിവിടെ നിന്നോട്ടേ. ഇവിടെ ഭക്ഷണപ്പാത്രത്തിന്റെ അറ്റത്തു പിടിക്കാനും ക്യാമറയില്‍ നോക്കി ഇളിച്ചുകാട്ടാനും മണിക്കൂറില്‍ 40 വാക്കു വെച്ചു ടൈപ്പു ചെയ്തു് മീറ്റ് അപ്‌ഡേറ്റ് നടത്താനും ഒരാള്‍ വേണം. പ്രിയ സിദ്ധാര്‍ത്ഥന്‍ ഏകനായി പോയാല്‍ മതി…”

“നിങ്ങളെന്താ വിചാരിച്ചതു്? എന്നെ ഒഴിവാക്കിയാല്‍ എനിക്കു മീറ്റൊന്നും കിട്ടില്ലെന്നോ? നാട്ടിലിപ്പോള്‍ ഡെയിലി മീറ്റു നടക്കുകയാ. ഞാന്‍ ഇതാ പോകുന്നു-ഡെല്‍ഹിയിലേക്കു്. അവിടെപ്പറ്റിയില്ലെങ്കില്‍ കൊച്ചിയിലേക്കു്. സെമിനാര്‍ അവതരിപ്പിക്കാമോ എന്നു ഞാനൊന്നു നോക്കട്ടേ. പറ്റിയില്ലെങ്കില്‍ എന്റെ പേരു് രാജീവിനു്-അല്ല-ഉമേഷിനിട്ടോ…”

സിദ്ധാര്‍ത്ഥന്‍ ഇന്‍ഡ്യാ ഗേറ്റിന്റെ മുമ്പില്‍ ഓടിക്കിതച്ചെത്തിയപ്പോഴേക്കും പാര്‍വ്വതിയും പരിവാരവും കട്ടേം പടോം മടക്കി ഹോട്ടലിലേക്കു പോയിരുന്നു. ഹോട്ടലെവിടെയെന്നു വഴിയിലുള്ള സര്‍ദാര്‍ജിമാരൊക്കെ ഹിന്ദിയിലും പഞ്ചാബിയിലുമൊക്കെ ചോദിച്ചു ചോദിച്ചു് അവിടെയെത്തിയപ്പോള്‍ അവിടെ വാച്ച്മാന്‍ മാത്രമേ ഉള്ളൂ. (സിദ്ധാര്‍ത്ഥന്‍ പണ്ടേ അങ്ങനെയാണു്. കേള്‍ക്കുന്ന ഭാഷകളിലില്ലെല്ലാം വളരെ ഫ്ലുവന്റാണു്. സംശയമുള്ളവര്‍ ഇതു വായിച്ചുനോക്കൂ.)

ഏതായാലും നൈറ്റ്‌ഫ്ലൈറ്റിനു തന്നെ ഗുവാഹട്ടി-കൊളംബോ-ഹൈദരാബാദ്-മുംബൈ വഴി കൊച്ചിയിലെത്തി.

ഗള്‍ഫില്‍ നിന്നു വരുന്ന ആളല്ലേ എന്നൊക്കെ വിചാരിച്ചു് അവര്‍ കഷ്ടകാലത്തിനു് ഒരു മൈക്ക് സിദ്ധാര്‍ത്ഥനു കൊടുത്തു. അതു കീഴ്ച്ചുണ്ടിനു കീഴെ ഒരു സെലോടേപ്പു കൊണ്ടു് ഒട്ടിച്ചു വെച്ചു് ഒരു തകര്‍പ്പല്ലായിരുന്നോ-“ശബ്ദതാരാ, വലി!” എന്നു്.

(പച്ചാളത്തിന്റെ മസിലു കണ്ടിട്ടാണു് പസ്സിലു ചോദിക്കാഞ്ഞതു് എന്നൊരു കിംവദന്തിയും കേട്ടു.)

ഇതു കേട്ടു ചില കൊച്ചിക്കാര്‍ ശബ്ദതാരാവലി ടൈപ്പു ചെയ്യാന്‍ തുടങ്ങിയത്രേ! പാവം, അവര്‍ക്കറിയുമോ ഇന്നു മുങ്ങിയാല്‍ സിദ്ധാര്‍ത്ഥനിനിയും അടുത്ത മീറ്റിനേ പൊങ്ങൂ എന്നു്!

കളിയൊക്കെ വിടു കൂട്ടരേ, നമുക്കു പസ്സിലിലേക്കു കടക്കാം:

ചോദ്യം:

ചോദ്യം ഇവിടെ.

ഉത്തരം:

ആദ്യമായി, എല്ലാവര്‍ക്കും അറിയാവുന്ന കാര്യങ്ങള്‍ നോക്കാം.

1. മൊത്തം 22 കുപ്പി മണ്ണെണ്ണ.
2. ദേവനാണു് ഏറ്റവും കൂടുതല്‍ മണ്ണെണ്ണ കൊടുത്തതു്.
3. വിശാലനും കുറുമാനും കൊടുത്തതിന്റെ തുകയാണു് ദേവന്‍ കൊടുത്തതു്. മറ്റൊരു രീതിയില്‍ പറഞ്ഞാല്‍, ദേവന്‍ കൊടുത്തതിന്റെ ഇരട്ടിയും തറവാടി കൊടുത്തതും കൂടെ കൂട്ടിയാല്‍ 22 കിട്ടും.

   അതായതു്, ദേവനും തറവാടിയ്ക്കും താന്‍ കൊടുത്തതല്ല, മറ്റേ ആള്‍ കൊടുത്ത മണ്ണെണ്ണയുടെ അളവും അറിയാം (സിദ്ധാര്‍ത്ഥന്റെ പ്രസംഗത്തിനു ശേഷം).
   താന്‍ കൊടുത്ത കുപ്പികളുടെ എണ്ണത്തിന്റെ ഇരട്ടി 22-ല്‍ നിന്നു കുറച്ചാല്‍ ദേവനു തറവാടിയുടെ കുപ്പികളുടെ എണ്ണം കിട്ടും. തന്റെ കുപ്പികളുടെ എണ്ണം 22-ല്‍ നിന്നു കുറച്ചതിന്റെ പകുതി കണ്ടാല്‍ തറവാടിയ്ക്കു ദേവന്റെ കുപ്പികളുടെ എണ്ണവും കിട്ടും. ഒരാളുടെ കൂടെ എണ്ണം കിട്ടിയാല്‍ മതി രണ്ടാള്‍ക്കും. ഉദാഹരണത്തിനു് കുറുമാന്റെ എണ്ണം കിട്ടിയാല്‍, ദേവന്റെ എണ്ണത്തില്‍ നിന്നു് അതു കുറച്ചാല്‍ വിശാലന്റെ എണ്ണം കിട്ടും.

   കുറുമാനും വിശാലനും സ്വന്തം കുപ്പികളുടെ എണ്ണമേ അറിയൂ. (സാധാരണയായി കുറുമാനു് സ്വന്തം കുപ്പികളുടെ എണ്ണം തന്നെ അറിയാറില്ല. അതു വേറേ കാര്യം!). പക്ഷേ അവര്‍ക്കും വേറേ ഒരാളുടെ കൂടി എണ്ണം കിട്ടിയാല്‍ എല്ലാം കണ്ടുപിടിക്കാം.

4. ദേവന്‍ കുറഞ്ഞതു് 8 കുപ്പി മണ്ണെണ്ണയെങ്കിലും കൊടുത്തിട്ടുണ്ടാവണം. ഏഴേ കൊടുത്തുള്ളുവെങ്കില്‍ തറവാടി എട്ടു കൊടുത്തു എന്നാകും. അപ്പോള്‍ ദേവന്‍ ഏറ്റവും കൂടുതല്‍ കൊടുത്തു എന്നതു തെറ്റും.
5. ദേവന്‍ പത്തില്‍ കൂടുതല്‍ കൊടുത്തിട്ടുണ്ടാവില്ല. 11 എണ്ണം കൊടുത്താല്‍ തറവാടി ഒന്നും കൊടുത്തില്ല എന്നു വരും. ഒന്നും കൊടുക്കാത്ത ആളെ തറവാടിയാണെങ്കില്‍പ്പോലും സിദ്ധാര്‍ത്ഥന്‍ എടുത്തു പറയാന്‍ സാദ്ധ്യതയില്ല.
6. എല്ലാവരും വ്യത്യസ്ത എണ്ണം കുപ്പികളാണു കൊടുത്തതു്.

ഇതെല്ലാം നോക്കിയാല്‍ താഴെപ്പറയുന്നവ മാത്രമേ സാദ്ധ്യമാവുകയുള്ളൂ:

( C1) ( 8, 7, 1, 6)
( C2) ( 8, 5, 3, 6)
( C3) ( 8, 3, 5, 6)
( C4) ( 8, 1, 7, 6)
( C5) ( 9, 8, 1, 4)
( C6) ( 9, 7, 2, 4)
( C7) ( 9, 6, 3, 4)
( C8) ( 9, 3, 6, 4)
( C9) ( 9, 2, 7, 4)
(C10) ( 9, 1, 8, 4)
(C11) (10, 9, 1, 2)
(C12) (10, 7, 3, 2)
(C13) (10, 6, 4, 2)
(C14) (10, 4, 6, 2)
(C15) (10, 3, 7, 2)
(C16) (10, 1, 9, 2)

ദേവന്റെ കാര്യം കഷ്ടം തന്നെ. ആള്‍ ബുദ്ധിരാക്ഷസനൊക്കെത്തന്നെ. പക്ഷേ, കക്ഷിയുടെ കയ്യില്‍ എട്ടോ ഒമ്പതോ പത്തോ ആയാലും രക്ഷയൊന്നുമില്ല. എട്ടായാല്‍ നാലു വിധം, ഒമ്പതായാല്‍ ആറു വിധം, പത്തായാല്‍ ആറു വിധം. കുറുമാനു് ഏറ്റവും കുറവാണെന്നുള്ള കാര്യം അദ്ദേഹത്തിനു് അറിയാന്‍ വയ്യ താനും. ചുരുക്കം പറഞ്ഞാല്‍ സുല്ലിട്ടു.

ദേവന്‍ മാത്രമല്ല സുല്ലിട്ടതു്. നമ്മളും സുല്ലിട്ടു. “ഒന്നര” ക്ലൂവെന്നും പറഞ്ഞു സിദ്ധാര്‍ത്ഥന്‍ പറഞ്ഞതില്‍ ഒരു കുന്തവുമില്ല. ദേവനു കിട്ടിയില്ല എന്നതില്‍ നിന്നു നമുക്കു കൂടുതല്‍ വിവരമൊന്നും കിട്ടുന്നില്ല. പാവം കുറുമാന്‍! കാലുമാട്ടി, തലയും ചൊറിഞ്ഞു, താടിയും തടവി ആലോചിച്ചിട്ടും സിദ്ധാര്‍ത്ഥന്റെ ഒന്നരയുടെ ഗുട്ടന്‍സ് മനസ്സിലായില്ല.

എന്നാല്‍പ്പിന്നെ അതു പോകട്ടേ, അതില്ലാതെ തന്നെ കണ്ടുപിടിക്കാമോ എന്നു വിചാരിച്ചു് കുറുമാന്‍ മേല്‍പ്പറഞ്ഞ പട്ടികയെ മനസ്സിലിട്ടുരുട്ടി. എന്നിട്ടും രക്ഷയില്ല. സ്കൂട്ടു ചെയ്തു.

ഇതു നമ്മള്‍ക്കൊരു ചെറിയ ക്ലൂ തന്നു. കുറുമാന്‍ കൊടുത്തതു അഞ്ചു കുപ്പി അല്ല. ആയിരുന്നെങ്കില്‍ (C2) എന്ന ഒരു വിധം മാത്രമേ ഉള്ളൂ എന്നു മനസ്സിലാക്കി പാരീസിലെ ഫോണ്‍ ചെയ്യുന്ന കുന്ത്രാണ്ടത്തിന്റെ ഗുട്ടന്‍സു മനസ്സിലാക്കിയപ്പോള്‍ ആര്‍ക്കിമിഡീസ് ഓടിയപോലെ “യുറീക്കാ, ശാസ്ത്രകേരളം,…” എന്നൊക്കെ പറഞ്ഞു് ഓടിയേനേ. അതുപോലെ (C5), (C9), (C11), (C14) എന്നിവയും അല്ല.

( C1) ( 8, 7, 1, 6)
( C2) ( 8, 5, 3, 6)
( C3) ( 8, 3, 5, 6)
( C4) ( 8, 1, 7, 6)
( C5) ( 9, 8, 1, 4)
( C6) ( 9, 7, 2, 4)
( C7) ( 9, 6, 3, 4)
( C8) ( 9, 3, 6, 4)
( C9) ( 9, 2, 7, 4)
(C10) ( 9, 1, 8, 4)
(C11) (10, 9, 1, 2)
(C12) (10, 7, 3, 2)
(C13) (10, 6, 4, 2)
(C14) (10, 4, 6, 2)
(C15) (10, 3, 7, 2)
(C16) (10, 1, 9, 2)

കുറുമാനും അറിയില്ലല്ലോ താനല്ല ഏറ്റവും കുറച്ചു കൊണ്ടു വന്നതെന്നു്. അതുകൊണ്ടു വേറേയൊന്നും വെട്ടിക്കളയാന്‍ സാദ്ധ്യതയില്ല.

അപ്പോള്‍ താഴെപ്പറയുന്ന പട്ടികയാണു വിശാലനു കിട്ടിയതു്.

( C1) ( 8, 7, 1, 6)
( C3) ( 8, 3, 5, 6)
( C4) ( 8, 1, 7, 6)
( C6) ( 9, 7, 2, 4)
( C7) ( 9, 6, 3, 4)
( C8) ( 9, 3, 6, 4)
(C10) ( 9, 1, 8, 4)
(C12) (10, 7, 3, 2)
(C13) (10, 6, 4, 2)
(C15) (10, 3, 7, 2)
(C16) (10, 1, 9, 2)

വിശാലന്റെ കൊച്ചുതലയില്‍ ഇതെല്ലാം കൂടി ആവാഹിച്ചു കണക്കുകൂട്ടാന്‍ നിര്‍വ്വാഹമില്ലാത്തതിനാല്‍ ചെവിപ്പുറകില്‍ നിന്നു് ഒരു പെന്‍സില്‍ എടുത്തു കടലാസ്സില്‍ പട്ടിക വരച്ചു നോക്കി, അതില്‍ നേരേ ചൊവ്വേ നെടുകേ കുറുകേ നാലു നോട്ടം നോക്കി രക്ഷയില്ല എന്നു കണ്ടിട്ടു് പന്തു് തറവാടിയ്ക്കു പാസ് ചെയ്തു.

വിശാലനു് അതൊരു ചെറിയ കാല്‍‌വെയ്പു മാത്രമായിരുന്നു. നമുക്കോ ഒരു കുതിച്ചുചാട്ടവും. വിശാലനു കിട്ടാഞ്ഞതിനാല്‍ (C1), (C3), (C6), (C8), (C10), (C13), (C16) എന്നിവ നമ്മളും തറവാടിയും ഒഴിവാക്കി.

( C1) ( 8, 7, 1, 6)
( C3) ( 8, 3, 5, 6)
( C4) ( 8, 1, 7, 6)
( C6) ( 9, 7, 2, 4)
( C7) ( 9, 6, 3, 4)
( C8) ( 9, 3, 6, 4)
(C10) ( 9, 1, 8, 4)
(C12) (10, 7, 3, 2)
(C13) (10, 6, 4, 2)
(C15) (10, 3, 7, 2)
(C16) (10, 1, 9, 2)

കുറുമാനല്ല ഏറ്റവും കുറച്ചു കൊടുത്തതെന്നു വിശാലനും അറിയില്ലല്ലോ. അപ്പോള്‍ ഇത്ര മാത്രമേ ചെയ്തിരിക്കാന്‍ സാദ്ധ്യതയുള്ളൂ.

അവസാനം, സംഗതി തറവാടിയ്ക്കു കിട്ടിയപ്പോള്‍ ഇത്രയേ ഉള്ളൂ:

( C4) ( 8, 1, 7, 6)
( C7) ( 9, 6, 3, 4)
(C12) (10, 7, 3, 2)
(C15) (10, 3, 7, 2)

ഇതു തറവാടി പറഞ്ഞതു കൊണ്ടു് നമുക്കു് ഒന്നു മനസ്സിലാക്കാം. തറവാടി കൊടുത്തതു രണ്ടു കുപ്പി അല്ല. പിന്നെ ഏതു്? ആറോ നാലോ?

തറവാടിയ്ക്കു ബുദ്ധിമുട്ടൊന്നുമില്ല. കക്ഷിയ്ക്കു താന്‍ കൊടുത്ത കുപ്പികളുടെ എണ്ണം അറിയാം. പക്ഷേ നമ്മളോ?

നമ്മളിവിടെ വടിയായേനേ, ആ സിദ്ധാര്‍ത്ഥന്‍ പറഞ്ഞതു കേട്ടു പസ്സില്‍ സോള്‍വു ചെയ്യാന്‍ നിന്നിരുന്നെങ്കില്‍. ഒന്നര ക്ലൂവാണെന്നു പറഞ്ഞു വഴി തെറ്റിച്ചതും പോരാ, അവസാനം ഇങ്ങനെയൊരു പാരയും! ശബ്ദതാരാവലി കുത്തിയിരുന്നു ടൈപ്പു ചെയ്യുന്ന കൊച്ചിക്കാരുടെ ഒരു ഗതികേടേ!

ഇവിടെയാണു ഞാന്‍ അവസരത്തിനൊത്തുയര്‍ന്നതു്. ഞാന്‍ പറഞ്ഞില്ലേ, കുറുമാന്‍ അത്ര കുറഞ്ഞവന്‍ അല്ല, മറ്റൊരുവനാണു് ഏറ്റവും കുറച്ചു കൊടുത്തതെന്നു്. ആ ക്ലൂ ഉപയോഗിക്കൂ സുഹൃത്തുക്കളേ. അപ്പോള്‍ (C4) അല്ല എന്നു മനസ്സിലാകും.

അപ്പോള്‍ ഉത്തരം (C7). അതായതു്

ദേവന്‍: 9 കുപ്പി
കുറുമാന്‍: 6 കുപ്പി
വിശാലന്‍: 3 കുപ്പി
തറവാടി: 4 കുപ്പി.

---

ഒരുപാടു പേര്‍ ഉത്തരമയച്ചു. അതില്‍ പലര്‍ക്കും തെറ്റി. തെറ്റിയവരില്‍ ചിലര്‍ പിന്നീടു ശരിയാക്കി.

ആദ്യം ഉത്തരമയച്ചതു സിബുവാണു്. അദ്ദേഹത്തിന്റെ ഉത്തരം ഞാന്‍ മുകളില്‍ കൊടുത്തതു തന്നെ. ഇവിടെ വായിക്കുക.

ഏറ്റവും രസകരമായ ഉത്തരം അയച്ചതു വിശ്വം. അതു് ഇവിടെ. വായിക്കാന്‍ വിട്ടുപോകരുതു്.

ഇവരെക്കൂടാതെ ദേവരാഗം, സിജു, അപ്പോള്‍ ശരി എന്നിവര്‍ പൂര്‍ണ്ണമായ ശരിയുത്തരം അയച്ചു.

കുട്ട്യേടത്തി, വല്യമ്മായി, ആദിത്യന്‍ എന്നിവര്‍ ആദ്യം തെറ്റിച്ചെങ്കിലും പിന്നീടു ശരിയാക്കി. ഇവരില്‍ ആദിത്യന്‍ ഉത്തരവും കണ്ടുപിടിച്ച രീതിയുമെല്ലാം കൂടി ഒരു എക്സല്‍ ഷീറ്റിലൊതുക്കിയതു താഴെച്ചേര്‍ക്കുന്നു.

ബാബു കല്യാണം, സിദ്ധാര്‍ത്ഥന്‍ എന്നിവര്‍ ശരിയുത്തരമയച്ചു. പക്ഷേ വിശദീകരണമയയ്ക്കാഞ്ഞതിനാല്‍ പൂര്‍ണ്ണമല്ല.

ഫൈസല്‍, കുസൃതിക്കുടുക്ക, സു, പച്ചാളം, സുല്ല്, ഇത്തിരിവെട്ടം, സുഭദ്രം, കുറുമാന്‍, പ്രവീണ്‍, പൊന്നപ്പന്‍, രാധ എന്നിവരുടെ ഉത്തരം ശരിയല്ല. പല ഉത്തരങ്ങള്‍ അയച്ചതിനെ തെറ്റായ ഉത്തരമായി കണക്കാക്കും, അതില്‍ ശരിയുത്തരം ഉണ്ടെങ്കില്‍ പോലും.

---

ഹൈദരാബാദില്‍ വെച്ചു ഞാന്‍ പങ്കെടുത്ത ഒരു പസ്സില്‍ സോള്‍‌വിംഗ് മത്സരത്തില്‍ ചോദിച്ച ഒരു ചോദ്യമാണിതു്. ഞാന്‍ ഇതിനു് അയച്ച ഉത്തരം ഇവിടെ. ശരിയുത്തരം കൂടാതെ എവിടെയൊക്കെ തെറ്റാം എന്നും ഇതില്‍ വിശദീകരിക്കുന്നുണ്ടു്. ചോദ്യത്തിലെ ഒരു ചെറിയ പിശകും ഞാന്‍ ചൂണ്ടിക്കാട്ടിയിരുന്നു.

എല്ലാവര്‍ക്കും നന്ദി!

ചോദ്യം:

പന്ത്രണ്ടാം നൂറ്റാണ്ടില്‍ ഭാസ്കരാചാര്യര്‍ “ലീലാവതി” (പാടീഗണിതം) എന്ന ഗണിതശാസ്ത്രഗ്രന്ഥത്തില്‍ ചോദിച്ച ഒരു പ്രശ്നമായിരുന്നു ഈ ലക്കത്തില്‍. ചോദ്യം ഇവിടെ.

ഉത്തരം:

30 മുത്തുകള്‍. ഭൂമിയില്‍ 30/3 = 10. കിടക്കയില്‍ 30/5 = 6. പെണ്ണിന്റെ കയ്യില്‍ 30/6 = 5. പുരുഷന്റെ കയ്യില്‍ 30/10 = 3. അങ്ങനെ മൊത്തം വീണുകിട്ടിയതു് 10 + 6 + 5 + 3 = 24. ബാക്കി 6 എണ്ണം ചരടില്‍ത്തന്നെ.

---

വഴി എഴുതിച്ചെയ്യുന്ന ഇന്നത്തെ മിടുക്കനായ ഒരു കുട്ടി ഇങ്ങനെ ചെയ്യും.

Simple linear algebra ഉപയോഗിച്ചാല്‍, മൊത്തം മുത്തുകളുടെ എണ്ണം x എന്നു സങ്കല്പിക്കുക. അപ്പോള്‍

---

(1)-നെ 3, 5, 6, 10 എന്നിവ കൊണ്ടു ഹരിക്കാവുന്ന ഒരു സംഖ്യ (ഉദാഹരണം 30) കൊണ്ടു ഗുണിച്ചാല്‍,

---

മുകളില്‍പ്പറഞ്ഞ രീതിയാണു ഭാസ്കരാചാര്യര്‍ നല്‍കുന്നതു്. അദ്ദേഹത്തിന്റെ നിയമം:

ഉദ്ദേശകാലാപവദിഷ്ടരാശിഃ
ക്ഷുണ്ണോ ഹൃതോംऽശൌ രഹിതോ യുതോ വാ
ഇഷ്ടാഹതം ദൃഷ്ടമനേന ഭക്തം
രാശിര്‍ഭവേത്‌ പ്രോക്തമിതീഷ്ടകര്‍മ്മ
ഉദ്ദേശ-കാല-അപവത് ഇഷ്ട-രാശിഃ, ക്ഷുണ്ണഃ ഹൃതഃ അംശൌ രഹിതഃ യുതഃ വാ ഇഷ്ട-ആഹതം ദൃഷ്ടം അനേന ഭക്തം രാശിഃ ഭവേത് പ്രോക്തം. ഇതി ഇഷ്ട-കര്‍മ്മ.

അതായതു്, കിട്ടേണ്ട മൂല്യത്തിനു് ഏതെങ്കിലും ഒരു വില (ഇഷ്ടം) കൊടുക്കുക. ചോദ്യത്തില്‍ പറഞ്ഞിരിക്കുന്നതു പോലെ ഗുണിക്കുകയും ഹരിക്കുകയും കൂട്ടുകയും കുറയ്ക്കുകയും ചെയ്യുക. ഇഷ്ടത്തെ കിട്ടുന്ന ഉത്തരം കൊണ്ടു ഹരിച്ചു് കിട്ടേണ്ട ഉത്തരം കൊണ്ടു ഗുണിച്ചാല്‍ ഇഷ്ടത്തിന്റെ ശരിയായ വില കിട്ടും. ഇതിനെ “ഇഷ്ടകര്‍മ്മം” എന്നു പറയുന്നു.

60 മുത്തുകളെന്നു സങ്കല്‍പ്പിക്കുക. ഭൂമിയില്‍ 20, കിടക്കയില്‍ 12, അവളുടെ കയ്യില്‍ 10, അവന്റെ കയ്യില്‍ 6. മൊത്തം 48. ബാക്കി 12. ഉത്തരം .

ഇവിടെ ചില കാര്യങ്ങള്‍ പ്രസക്തമാണു്.

1. ഇഷ്ടസംഖ്യയെ ഒരു ചരം (variable) ആയി കണക്കാക്കണമെന്നില്ല. ഒരു സംഖ്യ കരുതിയാലും മതി. 3, 5, 6, 10 എന്നിവ കൊണ്ടു ഹരിക്കാവുന്നതായാല്‍ ഭിന്നസംഖ്യ ഒഴിവാക്കാം. മുകളില്‍ 60 എന്നതിനു പകരം ഏതു സംഖ്യയും ഉപയോഗിക്കാം. x എന്നുപയോഗിക്കുന്നതാണു് ഇന്നത്തെ ഹൈസ്കൂള്‍ ആള്‍ജിബ്ര.
2. ഗുണനം, ഹരണം, കൂട്ടല്‍, കുറയ്ക്കല്‍ എന്നിവയെ ഇഷ്ടസംഖ്യയോടു ചെയ്യുന്നതു മാത്രമേ ഇവിടെ സാദ്ധ്യമാവൂ എന്നു വ്യക്തമായി പറഞ്ഞിരിക്കുന്നു. ഇതില്‍ നിന്നു രണ്ടു കാര്യങ്ങള്‍ വ്യക്തം:
   1. ഇഷ്ടസംഖ്യയല്ലാതെ സംഖ്യകളെ ഇതില്‍ ഉള്‍പ്പെടുത്തരുതു്. അതായതു് ഈ ക്രിയയില്‍ 6 എന്ന സംഖ്യ കൂട്ടാന്‍ പാടില്ല.
   2. മേല്‍പ്പറഞ്ഞ നാലു ക്രിയകളല്ലാതെ മറ്റൊന്നും (ഉദാഹരണം: വര്‍ഗ്ഗം) ചെയ്യാന്‍ പാടില്ല.

   Linear equations-ന്റെ എല്ലാ സ്വഭാവങ്ങളും പറഞ്ഞിട്ടുണ്ടു് എന്നര്‍ത്ഥം.

---

ജേക്കബും ശ്രീജിത്തും ശരിയായ ഉത്തരം തരുന്നതിനോടൊപ്പം അതെങ്ങനെ കണ്ടുപിടിക്കാം എന്നും വിശദീകരിച്ചു.

ഇന്ദീവരം ഇതു ചെയ്തതു trial and error ഉപയോഗിച്ചാണു്. 3, 5, 6, 10 എന്നിവ കൊണ്ടു ഹരിക്കാവുന്ന സംഖ്യയായിരിക്കണം എന്നതു കൊണ്ടു്, അവയുടെ ല. സാ. ഗു. ആയ 30-ന്റെ ഗുണിതമായിരിക്കണം എന്നു് അനുമാനിച്ചു് ഓരോന്നും ചെയ്തുനോക്കിയാണു കണ്ടുപിടിച്ചതു്.

കൃഷ്ണനും (krish9) ഇതു തന്നെയാണു ചെയ്തതു്. പക്ഷേ, 30-ന്റെ എല്ലാ ഗുണിതങ്ങളും ഉത്തരമാണെന്നു പറഞ്ഞുകളഞ്ഞു. ഇതു ശരിയല്ല. മുത്തുകളുടെ എണ്ണം 30k ആണെങ്കില്‍ ബാക്കി ചരടില്‍ 6k മുത്തുകള്‍ ശേഷിക്കും.

പയ്യന്‍സും ലേഖയും ഉത്തരം ശരിയാക്കി. എങ്ങനെ കണ്ടുപിടിച്ചു എന്നു വിശദീകരിച്ചിട്ടില്ല.

പയ്യന്‍സ് പദ്യത്തില്‍ത്തന്നെ (മലയാള ചോദ്യത്തിന്റെ വൃത്തമായ കുസുമമഞ്ജരിയില്‍ത്തന്നെ) ആണു മറുപടി പറഞ്ഞതു്. പയ്യന്‍സിന്റെ പദ്യം വൃത്തം ശരിയാക്കി താഴെച്ചേര്‍ക്കുന്നു:

മൊത്തമുണ്ടിവിടെ മുത്തു മുപ്പ, തതിലാറു വീണു ബത മെത്തമേല്‍
പത്തു മുത്തു ചിതറിത്തെറിച്ചു തറയില്‍ പതിച്ചതതു കാണുവിന്‍,
മുത്തിലഞ്ചു വധു തന്റെ കയ്യി, ലൊരു മൂന്നു കാന്തനുടെ കയ്യിലും,
ശിഷ്ടമാറു ചരടില്‍ കുടുങ്ങി, യിദമൊത്തു മുപ്പതു കണക്കിലായ്!

സംസ്കൃതചോദ്യത്തിന്റെ വൃത്തമായ സ്രഗ്ദ്ധരയില്‍ത്തന്നെ ഉത്തരവും തരാമെന്നു ശ്രീജിത്ത് പറഞ്ഞതാണു്. ഏതായാലും അദ്ദേഹം അതു ചെയ്തില്ല. നമ്മുടെ ഭാഗ്യം!

എല്ലാവര്‍ക്കും നന്ദി.

ചോദ്യം:

ചോദ്യം ഇവിടെ.

ഉത്തരം:

വിശാലമനസ്കന്‍ എന്ന ഗ്ലാമര്‍ താരത്തെപ്പറ്റി പറഞ്ഞതു കൊണ്ടാണോ, മുത്തപ്പന്റെ അനുഗ്രഹം കൊണ്ടാണോ, അതോ നല്ല പ്രശ്നമായതുകൊണ്ടാണോ എന്തോ, വളരെയധികം കമന്റുകള്‍ കിട്ടി.

ഉത്തരമയച്ചവര്‍ക്കെല്ലാം ശരിയുത്തരവും കിട്ടി: 31 രൂപ 63 പൈസ.

ഈ തുക ഞാന്‍ ചോദിച്ചപ്പോള്‍ വിശാലന്‍ 63 രൂപ 31 പൈസ തന്നു. അഞ്ചു പൈസ ഭണ്ഡാരത്തിലിട്ടു കഴിഞ്ഞപ്പോള്‍ ബാക്കി 63 രൂപ 26 പൈസ. ഇതു 31.63-ന്റെ കൃത്യം ഇരട്ടി!

ഇനി എങ്ങനെ ഇതു കണ്ടുപിടിക്കും എന്നു നോക്കാം. ലളിതമായ രീതികള്‍ ആദ്യവും കൂടുതല്‍ ഗഹനമായവ പിന്നീടും.

ബീജഗണിതം ഉപയോഗിച്ചു് കൊടുത്ത ചെക്കിലെ തുക r രൂപയും p പൈസയും എന്നു സങ്കല്പിച്ചാല്‍,

എന്നെഴുതാം. ഇതിനെ സരളമാക്കിയാല്‍

എന്നു കിട്ടും.

---

(1) എന്ന സമവാക്യത്തില്‍ രണ്ടു ചരങ്ങള്‍ (variables) ഉണ്ടു്. ഒരു സമവാക്യവും. ഇതു നിര്‍ദ്ധരിക്കാന്‍ രണ്ടു കുഴപ്പമുണ്ടു്.

1. ഇതിനു് അനന്തം ഉത്തരങ്ങളുണ്ടു്. ഒരു ചരത്തിനു് ഒരു നിശ്ചിതവില കൊടുത്താല്‍ മറ്റേതു് അതില്‍ നിന്നു കണ്ടുപിടിക്കാം.
2. എല്ലാ വിലകളും ഈ പ്രശ്നത്തില്‍ ശരിയാവില്ല. ഉദാഹരണമായി, r=10 എന്നു കൊടുത്താല്‍ p=(1995/98) എന്നു കിട്ടും.

   r, p എന്നിവ പൂര്‍ണ്ണസംഖ്യകളായിരിക്കണം. ഈ പ്രശ്നത്തില്‍ അവ 0-ത്തിനും 99-നും ഇടയ്ക്കുള്ള (രണ്ടും ഉള്‍പ്പെടെ) പൂര്‍ണ്ണസംഖ്യയായിരിക്കണം.

ഇതിനെ indeterminate integer equation എന്നു വിളിക്കുന്നു. തന്നിട്ടുള്ള സമവാക്യങ്ങള്‍ കൊണ്ടു് പൂര്‍ണ്ണമായി നിര്‍ദ്ധരിക്കാന്‍ പറ്റാത്ത സമവാക്യമാണു് indeterminate equation. പൂര്‍ണ്ണസംഖ്യകള്‍ മാത്രം മൂല്യമായി വരുന്നവ integer equation-ഉം.

ഡയഫാന്റസിന്റെ പേരിലാണു് ഇത്തരം സമവാക്യങ്ങള്‍ അറിയപ്പെടുന്നതു്. എങ്കിലും ഇവയില്‍ പലതും മറ്റു പല ഗണിതജ്ഞരും നിര്‍ദ്ധരിച്ചിരുന്നു-ഭാരതത്തിലെ ബ്രഹ്മഗുപ്തനും ഭാസ്കരനും ഉള്‍പ്പെടെ.

താഴെക്കൊടുത്തിരിക്കുന്ന തിയറി പൂര്‍ണ്ണമായി ആവിഷ്കരിക്കപ്പെടുന്നതു് 18, 19 നൂറ്റാണ്ടുകളിലാണു്. ലെഗ്രാന്‍‌ജെ, ഓയ്‌ലര്‍, ഗോസ് എന്നിവരാണു് ഇതിലെ ഭൂരിഭാഗം കാര്യങ്ങളും കണ്ടുപിടിച്ചതു്.

---

ഈ linear integer equation-ഉം അനന്തം ഉത്തരങ്ങള്‍ ഉണ്ടു്. നമുക്കു് r = R, p = P എന്നൊരു ഉത്തരം കിട്ടിയാല്‍

എന്നതു് ഇതിന്റെ എല്ലാ ഉത്തരങ്ങളും തരും. k എന്നതു് ഓരോ പൂര്‍ണ്ണസംഖ്യയാകുമ്പോഴും ഓരോ വ്യത്യസ്ത ഉത്തരം കിട്ടും.

ഇവയില്‍ നിന്നും പൂജ്യം മുതല്‍ 99 വരെയുള്ള മൂല്യങ്ങളുള്ള ഉത്തരമാണു നമുക്കു വേണ്ടതു്. മറ്റു പല പ്രശ്നങ്ങളിലും ഇതു വ്യത്യസ്തമായേക്കാം.

ഇനി ഇതു നിര്‍ദ്ധരിക്കാനുള്ള സാമാന്യരീതികള്‍ നോക്കാം.

---

(1) എന്ന സമവാക്യത്തിനെ ഇങ്ങനെ എഴുതാം.

ഇതിനു് ഇത്രയേ അര്‍ത്ഥമുള്ളൂ-98p-യെ 199 കൊണ്ടു ഹരിച്ചാല്‍ ശിഷ്ടം 5 കിട്ടണം. ഇങ്ങനെയുള്ള p കണ്ടുപിടിക്കുക. (p കിട്ടിയാല്‍ r കണ്ടുപിടിക്കാന്‍ ബുദ്ധിമുട്ടില്ലല്ലോ.)

ഇവിടെ p=0, 1, 2, …, 198 എന്നീ മൂല്യങ്ങള്‍ കൊടുത്താല്‍ ശിഷ്ടങ്ങള്‍ 0, 1, 2, …, 198 എന്നിവ കിട്ടും-ആ ക്രമത്തിലല്ലെന്നു മാത്രം. മറ്റൊരു വിധത്തില്‍ ‍പറഞ്ഞാല്‍, p=0, 1, 2, …, 198 എന്നീ മൂല്യങ്ങളില്‍ കൃത്യം ഒരെണ്ണം 5 ശിഷ്ടം തരും.

ഇതു പണിയായല്ലോ. ആരെക്കൊണ്ടു കഴിയും 199 തവണ ഇതു ചെയ്തുനോക്കാന്‍? വേറേ വഴി വല്ലതുമുണ്ടോ?

ഉണ്ടല്ലോ. ഇങ്ങനെയുമെഴുതാം.

98 കൊണ്ടു ഹരിക്കുമ്പോള്‍ -5 ശിഷ്ടം കിട്ടുന്നതും 93 കിട്ടുന്നതും ഒന്നു തന്നെയായതു കൊണ്ടു് ഇതിനെ

എന്നെഴുതാം. മുമ്പു പറഞ്ഞ തിയറി അനുസരിച്ചു് r=0, 1, 2, …, 97 എന്നീ വിലകള്‍ കൊടുത്താല്‍ കൃത്യം ഒരെണ്ണം 93 ശിഷ്ടം തരും.

199 തവണ എന്നുള്ളതു 98 ആയി. പക്ഷേ അതു പോരല്ലോ. ഇനിയും നന്നാക്കാന്‍ പറ്റുമോ?

ആലോചിച്ചാല്‍, p എന്നതു് r-ന്റെ ഇരട്ടിയോടു വളരെ അടുത്തു നില്‍ക്കുന്ന സംഖ്യയാണെന്നു കാണാം. ആ സംഖ്യ വളരെ ചെറുതാകാന്‍ സാദ്ധ്യതയുണ്ടു്. നമുക്കു് p = 2r + z എന്നു കൊടുക്കാം. അപ്പോള്‍ (1) എന്ന സമവാക്യം

എന്നായി മാറും. അതായതു്

അഥവാ,

(3 കൊണ്ടു ഹരിച്ചാല്‍ 5 ശിഷ്ടം വരിക എന്നു പറഞ്ഞാല്‍ ഒരു മൂന്നും കൂടി എടുത്തിട്ടു് ശിഷ്ടം 2 എന്നു പറയാമല്ലോ.)

ഇതു വളരെ ഭേദമാണു്. r=0, 1, 2 എന്നീ മൂന്നു വിലകള്‍ മാത്രം നോക്കിയാല്‍ മതി. അതിലൊന്നിനെ 3 കൊണ്ടു ഹരിച്ചാല്‍ 2 ശിഷ്ടം കിട്ടും.

r=0, 1, 2 എന്നിവ ആയാല്‍ 3 കൊണ്ടു ഹരിച്ച ശിഷ്ടം യഥാക്രമം 0, 2, 1 എന്നിവ ആണെന്നു കാണാം. അപ്പോള്‍ നമ്മുടെ ഉത്തരം z = 1.

അപ്പോള്‍,

ഈ മൂല്യങ്ങള്‍ 0-99 എന്ന പരിധിയില്‍ തന്നെയാണു്. വേറേ ഉത്തരങ്ങളുണ്ടോ? ഇതിന്റെ എല്ലാ ഉത്തരങ്ങളെയും കണ്ടുപിടിക്കാനുള്ള വഴി നാം മുകളില്‍ പറഞ്ഞിട്ടുണ്ടു്. അതനുസരിച്ചു്,

എന്നതു് ഇതിന്റെ എല്ലാ ഉത്തരങ്ങളും തരുന്നു. പൂജ്യത്തിനും 99-നുമിടയ്ക്കു് ഒരുത്തരമേയുള്ളൂ. k=0 ആകുമ്പോള്‍. r=31, p=63.

---

സിബുവാണു് ഈ പ്രശ്നം പൂര്‍ണ്ണമായി സോള്‍‌വു ചെയ്ത ഒരേയൊരു വ്യക്തി. മാത്രമല്ല, മുകളില്‍ കൊടുത്ത രീതിയെക്കാള്‍ ലളിതമായ ഒരു വഴി കാണിച്ചുതരുകയും ചെയ്തു-congruence theory ഉപയോഗിക്കാതെ തന്നെ.

സിബു (2)-നെ ഇങ്ങനെ എഴുതി.

ഇതിനെ 3 കൊണ്ടു ഹരിച്ചു ചെറിയ സ്ഥാനമാറ്റം നടത്തിയാല്‍,

ഇവിടെ (z-1) മൂന്നിന്റെ ഗുണിതമായാലേ ഏറ്റവും അവസാനത്തെ പദം ഒരു പൂര്‍ണ്ണസംഖ്യയാവൂ.

r ഒരു പോസിറ്റിവ് സംഖ്യയായതിനാല്‍ z > 0 എന്നും കാണാം.

അപ്പോള്‍, z = 3k+1 = 1, 4, 7, ….

z = 1 ആയാല്‍ r = 31, p = 63
z = 4 ആയാല്‍ r = 125. പക്ഷെ, r എന്നത്‌ വിശാലന്‍ പൈസയായി എണ്ണി എന്നതിനാല്‍ r നൂറില്‍ താഴെ ആവണം. അതുകൊണ്ട്‌ d = 4 ശരിയാവില്ല.

അതുകൊണ്ട്‌ ഒരേ ഒരു ഉത്തരം: ചെക്കിലെഴുതിയത്‌ 31.63

സിബു തന്നെ നമ്മുടെ വിജയി.

---

ഇതിനു വളരെ സാമാന്യമായ ഒരു നിര്‍ദ്ധാരണം ഉണ്ടു്. മുമ്പു കൊടുത്ത രീതിയില്‍ പൈസ രൂപയുടെ ഇരട്ടിയുടെ അടുത്തു നിന്നതു കൊണ്ടാണു് നമുക്കു് എളുപ്പം ചെയ്യാന്‍ പറ്റിയതു്. ഇല്ലെങ്കിലോ?

ഇല്ലെങ്കിലും ഇത്തരം സമവാക്യങ്ങള്‍ നിര്‍ദ്ധരിക്കാനുള്ള വഴികള്‍ ഗണിതജ്ഞര്‍ ആവിഷ്കരിച്ചിട്ടുണ്ടു്. അതനുസരിച്ചു്, (98/199) എന്ന ഭിന്നത്തിനെ ഒരു തുടര്‍‌ഭിന്നം (continued fraction) ആക്കുക.

ഇതിനെ [0;2,32,2] എന്നും എഴുതാം.

ഈ പ്രശ്നം സോള്‍വു ചെയ്യാന്‍ തുടര്‍ഭിന്നത്തിലെ ആദ്യത്തെ സംഖ്യയുള്‍പ്പെടെയുള്ള പദങ്ങളുടെ എണ്ണം ഒരു ഒറ്റസംഖ്യയായിരിക്കണം. ഇവിടെ അതു നാലാണല്ലോ. അതിനു കുഴപ്പമില്ല. അവസാനത്തെ പദത്തെ

എന്നു മാറ്റിയെഴുതിയാല്‍ മതി. അപ്പോള്‍

എന്നു കിട്ടും. ഇനി ഇതിന്റെ അവസാനത്തെ പദം കളഞ്ഞിട്ടു ബാക്കിയുള്ളതിന്റെ മൂല്യം ഒരു ഭിന്നമായി കണ്ടുപിടിക്കുക.

ഇതിന്റെ ഛേദവും (132) അംശവും (65)

എന്ന സമവാക്യത്തിന്റെ നിര്‍ദ്ധാരണം ആയിരിക്കും. അതായതു്, p = 132, r = 65 എന്ന മൂല്യങ്ങള്‍.

നമുക്കു വേണ്ട സമവാക്യത്തിന്റെ നിര്‍ദ്ധാരണം കിട്ടാന്‍ ഇവയെ 5 കൊണ്ടു ഗുണിച്ചാല്‍ മതി. അതായതു്,

(1) എന്ന സമവാക്യത്തില്‍ ഇട്ടുനോക്കിയാല്‍ ഇവ ശരിയാകും എന്നു കാണാം.

പക്ഷേ, നമുക്കിതു പോരല്ലോ. 0-99 എന്ന പരിധിയിലുള്ളതു കണ്ടുപിടിക്കണമല്ലോ. മുകളില്‍ പറഞ്ഞ നിയമം ഉപയോഗിച്ചു് ഇതു കണ്ടുപിടിക്കാം.

ഇതില്‍ k = -3 എന്നിട്ടാല്‍ r = 31, p = 63 എന്നു കിട്ടും.

---

മുകളില്‍ പറഞ്ഞതനുസരിച്ചു്

എന്നതു് ഇതിന്റെ എല്ലാ ഉത്തരങ്ങളും തരും.

അപ്പോള്‍ ശരി എഴുതുന്നു:

വിശാലൻറെ ഈ വീക്ക്നെസ്സ് അറിയാവുന്ന ആരെങ്കിലും129.262 എന്നൊക്കെ ചെക്കിൽ എഴുതിയാൽ ഉമേഷ്ജി പറഞ്ഞ് പോലെ ഒന്നിലധികം ഉത്തരം കിട്ടും. വിശാലൻ മിഡ്ഡിൽ ഈസ്റ്റിലെ ഓർമയിൽ ചിലപ്പൊൾ 262 രൂപ 129 പൈസ തന്നാലോ? അവിടുത്തെ ചില രാജ്യങ്ങളിൽ 1 ദിനാറ് = 1000 ഫില്സ് എന്നൊക്കെ അല്ലെ കണക്ക്?

ഇനി 1 ദിനാര്‍ = 1000 ഫില്‍‌സ് എന്ന കണക്കുള്ള രാജ്യമാണെങ്കിലോ? ചെക്കെഴുതിയിട്ടു് ഞാന്‍ അഞ്ചു ഫില്‍‌സ് ഭണ്ഡാരത്തിലിട്ടു എന്നു കരുതുക. എന്തൊക്കെ ഉത്തരങ്ങളുണ്ടു്?

ഇനി ഒരു രൂപ = 10000 പൈസ എന്നുള്ള ഒരു രാജ്യമാണെങ്കിലോ? ഈ സമവാക്യങ്ങള്‍ തന്നെ മതി. k-യ്ക്കു പല വിലകള്‍ ഇട്ടു നോക്കുക. കിട്ടുന്ന വിലകളില്‍ വേണ്ടതെടുക്കുക. ഇതാണു ഗണിതം ഉപയോഗിച്ചാലുള്ള ഗുണം!

---

മുകളില്‍ പറഞ്ഞ രീതികളിലേതെങ്കിലും ഉപയോഗിച്ചു് ഈ പ്രശ്നം പൂര്‍ണ്ണമായി നിര്‍ദ്ധരിക്കാം. സിബുവൊഴികെ നമ്മുടെ വായനക്കാരാരും ഇതു വരെ പോയില്ലെങ്കിലും, ഈ ആശയങ്ങള്‍ തന്നെ ഉപയോഗിച്ചു് ഉത്തരത്തിലെത്തി.

1. അടിപൊളീസ്, സിദ്ധാര്‍ത്ഥന്‍, ശ്രീജിത്ത്, വല്യമ്മായി എന്നിവര്‍ ഉത്തരം മാത്രമേ തന്നിട്ടുള്ളൂ. ചെയ്ത വിധം തന്നിട്ടില്ല.

   മിക്കവാറും കമ്പ്യൂട്ടര്‍ പ്രോഗ്രാം എഴുതിയായിരിക്കാം ഉത്തരം കണ്ടുപിടിച്ചതു്. അതു പോരല്ലോ.

2. പുള്ളി (1) എന്ന സമവാക്യത്തില്‍ പല മൂല്യങ്ങള്‍ ഇട്ടു നോക്കി അവസാനം ഉത്തരം കണ്ടുപിടിച്ചു. അതു പോരാ പുള്ളീ, അല്പം കൂടി ആലോചിക്കൂ.
3. (1) എന്ന സമവാക്യം എല്ലാവര്‍ക്കും കിട്ടി. ഇനി അതുപോലെയുള്ള ഒരു linear equation കൂടി കിട്ടിയാല്‍ സംഗതി എളുപ്പമായി.

   p എന്നതു് r എന്നതിന്റെ ഇരട്ടിയില്‍നിന്നു് അല്പം വലുതാണെന്ന കാര്യം ശ്രദ്ധിച്ചിട്ടു്

   

   എന്നു സങ്കല്‍പ്പിച്ചു് ഈ രണ്ടു simultaneous equations-ഉം solve ചെയ്താണു് കുട്ട്യേടത്തി, ചാക്കൊച്ചി, അപ്പോള്‍ ശരി, രാധ, ജേക്കബ് എന്നിവര്‍ ഉത്തരം കണ്ടുപിടിച്ചതു്. “ഇട്ടിയമ്മ ചാടിയാല്‍ കൊട്ടിയമ്പലത്തിന്റെ കഷ്ടിച്ചു് ഒരടി കൂടിയേ പോകൂ” എന്നു വിശ്വം പറഞ്ഞതിന്റെ അര്‍ത്ഥവും ഇതു തന്നെ. ഇവരാണു് തൊട്ടടുത്താ സ്ഥാനത്തിനര്‍ഹര്‍.

   പക്ഷേ, വിശ്വം “കഷ്ടിച്ചു് ഒരടി കൂടിയേ” എന്നു പറഞ്ഞതു ശരിയല്ല. ഉദാഹരണത്തിനു്, ഞാന്‍ 5 പൈസയ്ക്കു പകരം 52 പൈസയാണു് ഇട്ടിരുന്നെങ്കില്‍ (എന്റെ സ്വഭാവം നോക്കിയാല്‍ സാദ്ധ്യത വളരെ കുറവു്) മേല്‍പ്പറഞ്ഞതു പോരാ,

   

   എന്നതു് ഉപയോഗിക്കണം. ഇട്ടിയമ്മ കൊട്ടിയമ്പലത്തിനു രണ്ടു പടി അപ്പുറത്തേക്കും ചാടാം എന്നര്‍ത്ഥം.

   മുകളില്‍ പറഞ്ഞവര്‍ ഈ ഒരു സാദ്ധ്യതയെപ്പറ്റിയും പറഞ്ഞിരുന്നു. ഒന്നു കൂട്ടി കിട്ടിയില്ലെങ്കില്‍ രണ്ടു കൂട്ടി നോക്കും, അതും കിട്ടിയില്ലെങ്കില്‍ മൂന്നു കൂട്ടി നോക്കും എന്നിങ്ങനെ.

   ഉത്തരമുണ്ടെങ്കില്‍ കണ്ടുപിടിക്കാന്‍ മൂന്നു മൂല്യങ്ങള്‍ മാത്രം പരിശോധിച്ചാല്‍ മതി എന്നു് ഉറപ്പാക്കാന്‍ മുകളില്‍ പറഞ്ഞ തിയറി ഉപയോഗിക്കേണ്ടി വരും.

ഓരോരുത്തരും ചെയ്ത രീതികള്‍ കാണാന്‍ ഈ പോസ്റ്റിലെ കമന്റുകള്‍ വായിക്കുക.

---

എന്തിനാണു് ഈ ചെറിയ പ്രശ്നം ചെയ്യാന്‍ ഇത്ര വലിയ ഗണിതതത്ത്വങ്ങള്‍ ഉപയോഗിക്കുന്നതു്? മൂട്ടയെ കൊല്ലാന്‍ മെഷീന്‍ ഗണ്‍ ഉപയോഗിക്കണോ?

വക്കാരി കുറച്ചു മുമ്പു് ഇത്തരം ഒരു ചോദ്യം ചോദിച്ചിരുന്നു. ഗണിതം കൊണ്ടു് എന്താണൊരു ഗുണം, പരീക്ഷയ്ക്കു മാര്‍ക്കു വാങ്ങുകയല്ലാതെ?

ഗണിതത്തിന്റെ ഗുണം വ്യക്തമാക്കാനാണു് ഇത്രയും എഴുതിയതു്. ഗണിതം ഉപയോഗിച്ചാല്‍ നമുക്കു് ഈ പ്രശ്നം പൂര്‍ണ്ണമായി നിര്‍ദ്ധരിക്കാന്‍ കഴിയുന്നു. മറ്റു രീതികളില്‍ നമുക്കു് ഒരു ഉത്തരം കിട്ടിയേക്കാം. പക്ഷേ, പൂര്‍ണ്ണമായ ഉത്തരം കിട്ടണമെന്നില്ല.

കൂടാതെ സാമാന്യനിര്‍ദ്ധാരണത്തിനും ഗണിതം കൂടിയേ കഴിയൂ.

ചോദ്യം:

ചോദ്യം ഇവിടെ.

ഉത്തരം:

1. ഗണിതശാസ്ത്രത്തില്‍ വളരെയധികം വിവരവും വിദ്യാഭ്യാസവുമുള്ള ഒരു സുഹൃത്തിനോടു് (അദ്ദേഹത്തിനു് ഇപ്പോള്‍ ഒരു Ph. D. ഉണ്ടു്) ഈ ചോദ്യം ചോദിച്ചപ്പോള്‍ അദ്ദേഹം ഇങ്ങനെ സോള്‍‌വു ചെയ്തു:
   

   മിനിറ്റു സൂചിയുടെ ആംഗുലര്‍ വെലോസിറ്റി = radians/minute

   മണിക്കൂര്‍ സൂചിയുടെ ആംഗുലര്‍ വെലോസിറ്റി = radians/minute

   t മിനിട്ടു കഴിഞ്ഞാല്‍ അവ രണ്ടും ഒരു ദിശയിലാവും എന്നു വിചാരിക്കുക. അപ്പോള്‍

   

   രണ്ടു വശത്തെയും കൊണ്ടു ഗുണിച്ചാല്‍

   

   അതായതു്,

   

   ഇതു് അതിന്റെ സാമാന്യമായ ഉത്തരമാണു്. n-നു് ഏതു പൂര്‍ണ്ണസംഖ്യ കൊടുത്താലും ഒരു ഉത്തരം കിട്ടും. (0 എന്നു കൊടുത്താല്‍ 12 മണി തന്നെ.) 1 എന്ന വില കൊടുത്താല്‍

   മിനിട്ട് = 1 മണിക്കൂര്‍ 5 മിനിട്ട് 27.272727… സെക്കന്റ് എന്നു കിട്ടും.

   ഇതാണു കണക്കു കൂടുതല്‍ പഠിച്ചാലുള്ള ഒരു കുഴപ്പം. എല്ലാം സങ്കീര്‍ണ്ണമായേ അവര്‍ക്കു ചെയ്യാന്‍ പറ്റുകയുള്ളൂ! എത്ര പശുക്കളുണ്ടെന്നു കണ്ടുപിടിക്കാന്‍ അവര്‍ മൊത്തം കാലുകള്‍ എണ്ണിനോക്കിയിട്ടു നാലു കൊണ്ടു ഹരിച്ചു് ഉത്തരം കണ്ടുപിടിക്കും

2. വളരെയധികം സമര്‍ത്ഥയും അതിലേറെ മടിച്ചിയും എന്തു പ്രശ്നം കിട്ടിയാലും അതു മാത്രം ചെയ്യാനുള്ള ഏറ്റവും എളുപ്പമുള്ള വഴിയുടെ പുറകേ പോകുന്നവളുമായ ഒരു സുഹൃത്തിനോടു ചോദിച്ചപ്പോള്‍ അവള്‍ ഇങ്ങനെ ചെയ്തു.
   

   1:05-നു ശേഷമാണല്ലോ ഇതുണ്ടാകുന്നതു്. ഇതു് 1:05 കഴിഞ്ഞു് മിനിട്ടു കഴിഞ്ഞു സംഭവിക്കുന്നു എന്നു കരുതുക. മിനിട്ടു സൂചിയ്ക്കു് മണിക്കൂര്‍ സൂചിയുടെ പന്ത്രണ്ടിരട്ടി വേഗതയുണ്ടു്. അതുകൊണ്ടു്
   

   മിനിട്ട് = 27.272727… സെക്കന്റ്.

   1:05-നു ശേഷം 27.272727… സെക്കന്റ് കഴിഞ്ഞാല്‍ ഇതു സംഭവിക്കും.

   ആള്‍ജിബ്ര ഉപയോഗിച്ചു വളരെ ലളിതമായ ഒരു നിര്‍ദ്ധാരണം. ഇങ്ങിനെയാവും ഹൈസ്കൂള്‍ വിദ്യാഭ്യാസമുള്ള, എന്നാല്‍ അധികം കണക്കു പഠിക്കാത്ത, അധികം പേരും ചെയ്യുന്നതു്.

3. ഇതു ചെയ്യാന്‍ ആള്‍ജിബ്രയും വേണ്ട എന്നതാണു വസ്തുത. ആറാം ക്ലാസ്സില്‍ പഠിക്കുമ്പോള്‍ ഞാന്‍ ഇതു സോള്‍വു ചെയ്തതു്:
   

   12 മണി കഴിഞ്ഞാല്‍ പിന്നെ 1:05 കഴിഞ്ഞു് ഇതു സംഭവിക്കും. പിന്നെ 2:10+, പിന്നെ 3:15+, 4:20+, 5:25+, 6:30+, 7:35+, 8:40+, 9:45+, 10:50+, 11:55+ എന്നീ സമയങ്ങളിലും സംഭവിക്കും. ഇതില്‍ 11:55+ എന്നതു് അടുത്ത 12 മണി തന്നെയാണു്. അതായതു്, 12 മണിക്കൂറിനിടയില്‍ ഇതു 11 തവണ ഉണ്ടാകും. അതിനാല്‍ ഒരു തവണ ഉള്ള സമയം = മിനിട്ട് = 1 മണിക്കൂര്‍ 5 മിനിട്ട് 27.272727… സെക്കന്റ്.

എങ്ങനെ ചെയ്താലും ഒരേ ഉത്തരം. ഇതാണല്ലോ ഗണിതത്തിന്റെ ഒരു മഹത്ത്വം!