A:Simple Math

10. ക്രിക്കറ്റ് മണ്ടത്തരങ്ങൾ (A)

ചോദ്യം ഇവിടെ.

ഉത്തരം:

  • ഒന്നാം ഇന്നിംഗ്സിൽ നളനു് ഒരു വിക്കറ്റ്. ബൌളിംഗ് ആവറേജ് 84/1 = 84. ശ്രീജിത്തിനു് 4 വിക്കറ്റ്. ബൌളിംഗ് ആവറേജ് 252/4 = 63. ശ്രീജിത്തിനു കുറഞ്ഞ ബൌളിംഗ് ആവറേജ്.
  • രണ്ടാം ഇന്നിംഗ്സിൽ നളനു് 7 വിക്കറ്റ്. ബൌളിംഗ് ആവറേജ് 252/7 = 36. ശ്രീജിത്തിനു് 3 വിക്കറ്റ്. ബൌളിംഗ് ആവറേജ് 84/3 = 28. ഇവിടെയും ശ്രീജിത്തിനു കുറഞ്ഞ ബൌളിംഗ് ആവറേജ്.
  • മൊത്തം നളനു വിക്കറ്റ് 8. ശ്രീജിത്തിനു് 7. രണ്ടുപേരും വഴങ്ങിയ റൺസ് 336. അതിനാൽ കുറഞ്ഞ റൺ റേറ്റ് നളനു്.

സ്റ്റാറ്റിസ്റ്റിക്സ് നമ്മളെ വഴിതെറ്റിക്കാനുള്ള ഒരു വഴിയും ഈ പ്രശ്നം കാണിച്ചു തരുന്നു. ശരാശരികൾ താരതമ്യം ചെയ്യുമ്പോൾ എങ്ങനെ വിഭജിക്കുന്നു എന്നതനുസരിച്ചു് ആടു പട്ടിയും തിരിച്ചും ആകും എന്നർത്ഥം. ഉദാഹരണമായി “കേരളത്തിലെ പാവപ്പെട്ടവന്റെയും ഇടത്തരക്കാരന്റെയും പണക്കാരന്റെയും പ്രതിശീർഷവരുമാനം തമിഴ്നാട്ടിലെ ആ തരക്കാരുടേതിനെക്കാൾ കൂടുതലാണു്” എന്നു പറഞ്ഞതുകൊണ്ടു് കേരളീയന്റെ പ്രതിശീർഷവരുമാനം തമിഴ്‌നാട്ടുകാരന്റേതിനെക്കാൾ കൂടുതലാണു് എന്നർത്ഥമില്ല എന്നർത്ഥം.

ഇതിനു് സിം‌പ്‌സന്റെ പാര എന്നാണു പേരു് എന്നു വിക്കി പറയുന്നു. കിഡ്നിയിലെ കല്ലു കളയാനുള്ള രണ്ടു രീതികൾ താരതമ്‌യം ചെയ്യാൻ കുഞ്ഞുകല്ലും വലിയ കല്ലും പ്രത്യേകം കണക്കു കൂട്ടിയപ്പോൾ ചെയ്തപ്പോൾ ഫലം നേരേ വിപരീതമായ ഒരു യഥാർത്ഥസംഭവവും വിക്കി റിപ്പോർട്ടു ചെയ്യുന്നുണ്ടു്.

ഈ പ്രശ്നം കാണുന്നതു വരെ ഇങ്ങനെയൊരു സാദ്ധ്യതയെപ്പറ്റി ഞാൻ ആലോചിച്ചിരുന്നു തന്നെയില്ല. അദ്ഭുതം തന്നെ, അല്ലേ?

ഇനി എല്ലാവരും രണ്ടു മിനിട്ടു് ഇതിന്റെ അദ്ഭുതത്തെപ്പറ്റി ഓർത്തു് മൌനം ആചരിക്കുക.

ഫലം:

  • ഉത്തരവും അതു കിട്ടുന്ന വിധവും സ്റ്റൈലായി എഴുതി അയച്ചതു് ആകെ മൂന്നു പേർ മാത്രം: ബാബു കല്യാണം (ഇതും ഇതും), ശ്രീജിത്ത് (ഇതും ഈമെയിലും), ജേക്കബ് (ഇതു്). മൂന്നു പേരുടെയും കമന്റുകൾ < കൊണ്ടുപോയി. ശ്രീജിത്ത് പിന്നെ ഈമെയിലായിട്ടും ബാക്കിയുള്ളവർ കമന്റായും അയച്ചുതന്നു.

    ഇവർ മൂന്നു പേരെ കൂടാതെ പേരു പറയാൻ വിസമ്മതിച്ച, പ്രശസ്തി ഇഷ്ടമില്ലാത്ത ഒരു അജ്ഞാത കൂടി ശരിയുത്തരം അയച്ചിട്ടുണ്ടു്. അദ്വൈതം, ക്വാണ്ടം മെക്കാനിക്സ് തുടങ്ങിയവയിൽ പ്രവീണയായ ഈ യുവശാസ്ത്രജ്ഞയുടെ വിഹാരരംഗം ഇസ്രായേൽ, ജെർമനി തുടങ്ങിയ രാജ്യങ്ങളാണു്. ഈയിടെ ഇന്ത്യയിൽ ഇടത്തുമുന്നണിയ്ക്കുണ്ടായ കടുത്ത പരാജയവും ഈ ശാസ്ത്രജ്ഞയുടെ അജ്ഞാതയായി ഇരിക്കാനുള്ള തീരുമാനവും തമ്മിൽ ബന്ധമില്ല.

    കല്യാണത്തിനും, കല്യാണത്തിന്റെ ഇടയിൽ ഈ പ്രശ്നവും സോൾ‌വു ചെയ്ത ശ്രീജിത്തിനും പിന്നെ ജേക്കബിനും അഭിനന്ദനങ്ങൾ! ഇവരുടെ രീതികൾ താഴെ കൊടുത്തിട്ടുണ്ടു്.

    തന്നെ വധിച്ച പോസ്റ്റാണെങ്കിലും ഇതു കല്യാണത്തിരക്കിനിടയിലും സോൾ‌വു ചെയ്യാൻ സന്മനസ്സു കാണിച്ച ശ്രീജിത്ത് എന്ന മഹാമനസ്കന്റെ സ്പോർട്ട്സ്മാൻ സ്പിരിറ്റിനു മുന്നിൽ ഒരു പ്രണാമം! ഇനി മുതൽ ഇവനെ ആരും മണ്ടൻ എന്നു വിളിക്കാൻ പാടില്ലാത്തതാകുന്നു. ഭാര്യ കേട്ടാൽ മോശമല്ലേ?

  • മേരിക്കുട്ടിയാണു താരം (ഇതും ഇതും ഇതും ഇതും). ക്രിക്കറ്റിൽ ഒരിന്നിംഗ്സിൽ പത്തു വിക്കറ്റേ ഉള്ളൂ എന്നറിയാത്തതിനാൽ (ഭാരതീയസ്വത്വത്തിന്റെ എന്തോ ഡിങ്കോളിഫിക്കേഷനായി നാട്ടുകാർ പൊക്കിക്കൊണ്ടു നടക്കുന്ന ക്രിക്കറ്റിൽ എന്നോളം അജ്ഞതയുള്ള ഒരാളെ കണ്ടുമുട്ടിയതിൽ സന്തോഷം. ഒരേ തൂവൽ‌പ്പക്ഷികൾ എന്നൊക്കെ പറയില്ലേ? അതു തന്നെ.) കാടു കയറിപ്പോയി. പിന്നെ ശ്രീജിത്തും നളനും ഒരു ടീമിലാണെന്നു് എന്റെ രാമായണം മുഴുവൻ വായിച്ചിട്ടു സീതാരാമകല്യാണസൌഭോഗമേ സ്റ്റൈലിൽ മനസ്സിലാവാതെ പിന്നെയും ദണ്ഡകാരണ്യത്തിലേക്കു പോയി. എന്തായാലും അവസാനം മേരിക്കുട്ടിയ്ക്കു് ഉത്തരം കിട്ടി. അതെങ്ങനെ കിട്ടി എന്നു മേരിക്കുട്ടി എഴുതിയതു വായിക്കുന്നവനു വട്ടായി ഉത്തരത്തിൽ കെട്ടിത്തൂങ്ങി ചാവുമെന്നു മാത്രം.
  • ചെയ്യുന്ന വിധം പറയാതെ ഉത്തരം മാത്രം പറഞ്ഞ ഏതാനും മാന്യവ്യക്തികളുണ്ടു്. അവരുടെ പേരുകൾ: അനിൽശ്രീ, ജോഷി, റാൽ‌മിനോവ്, അയൽക്കാരൻ,മാരാർ, കുട്ട്യേടത്തി, പാഞ്ചാലി, ധനേഷ്, സജിത്ത്, ശ്രീ, കുട്ടപ്പായി, ചെത്തുകാരൻ, സിജു, വല്യമ്മായി (വല്യമ്മായിയ്ക്കു ക്രമം തെറ്റിപ്പോയി).
  • കുതിരവട്ടൻ, അരവിന്ദൻ എന്നവർ കമ്പ്യൂട്ടർ പ്രോഗ്രാം എഴുതിയാണു് ഉത്തരം കണ്ടുപിടിച്ചതെന്നു കുറ്റസമ്മതം നടത്തിയതിനാൽ അവരെ വെറുതേ വിട്ടിരിക്കുന്നു. കുതിരവട്ടൻ തന്റെ കമ്പ്യൂട്ടർ പ്രോഗ്രാമും ഇവിടെ ഇട്ടിട്ടുണ്ടു്.
  • ചെയ്യുന്ന വിധമെന്നു പറഞ്ഞു് കുറേ എഴുതി എന്റെ സമയം വെറുതേ കളഞ്ഞ കുറേ ജനമുണ്ടു്. ഇവറ്റകൾക്കും ഉത്തരം മാത്രമേ ഉള്ളൂ, ബാക്കിയെല്ലാം ഗ്യാസാണു്: സിദ്ധാർത്ഥൻ, തമനു, ഗിരീഷ്, ജയരാജൻ.
  • < ചതിച്ചവർ കുറേയുണ്ടു്. “ദിപ്പ ശരിയാക്കിത്തരാം” എന്നു പറഞ്ഞിട്ടു പോയ റോബിയെ പിന്നെ ആ വഴിക്കു കണ്ടിട്ടില്ല. ഉത്തരം പോയിട്ടു കഴുക്കോലെങ്കിലും കിട്ടിയോ എന്നു ദൈവത്തിനറിയാം. മറ്റു പലർക്കും ഈ പ്രശ്നമുണ്ടായി.
  • തെറ്റായ ഉത്തരം അയച്ചവർ ഇത്തവണ ആരുമില്ല. ഉത്തരമല്ലാത്ത കമന്റുകൾ അപ്പപ്പോൾ പ്രസിദ്ധീകരിച്ചിട്ടുണ്ടു്.
  • എല്ലാവർക്കും നന്ദി.


അല്പസ്വല്പം കമ്പ്യൂട്ടർ പ്രോഗ്രാമിംഗ് അറിയാവുന്നവർക്കു് എളുപ്പത്തിൽ കണ്ടുപിടിക്കാവുന്നതാണു് എന്നതാണു് ഇതു് ഇത്ര എളുപ്പമാവാൻ ഒരു കാരണം. ഉദാഹരണത്തിനു് ഒരു ബ്രൂട്ട്‌ഫോഴ്സ് പൈത്തൺ പ്രോഗ്രാം താഴെ:

for nw1 in range(1, 10):
  for sw1 in range(nw1+1, 11-nw1):
    for nw2 in range(1, 10):
      for sw2 in range(1, 11-nw2):
        if 84 / nw1 > 252 / sw1 and 84 / sw2 < 252 / nw2 and \
            nw1 + nw2 > sw1 + sw2:
          print (nw1, sw1, nw2, sw2)

ഇതിലുള്ള വേരിയബിൾസിനു് വളരെക്കുറച്ചു മൂല്യങ്ങളേ എടുക്കാൻ പറ്റൂ എന്നുള്ളതു കൊണ്ടു് കമ്പ്യൂട്ടർ ഇല്ലാതെ തന്നെ ട്രയൽ ആൻഡ് എറർ വഴി ഉപയോഗിച്ചു് (കമ്പ്യൂട്ടർ ചെയ്യുന്നതും ഇതു തന്നെ.) ചെയ്യാം.


ഇനി ഗണിതം തന്നെ ഉപയോഗിക്കണമെങ്കിൽ ദാ ഒരു വഴി. ഈ ചോദ്യം ഞാൻ അടിച്ചു മാറ്റിയ Mathematical byways എന്ന പുസ്തകത്തിൽ നിന്നു് അല്പസ്വല്പം വ്യത്യാസങ്ങളോടു കൂടി:

സാമാന്യവിവരങ്ങൾ:

ഓരോ ഇന്നിംഗ്സിലും രണ്ടു പേരുടെയും ആകെ വിക്കറ്റുകളുടെ എണ്ണം പത്തിൽ കൂടാൻ പറ്റില്ല. അതുകൊണ്ടു്,

— (1)

— (2)

അതുപോലെ എന്നിവ ഒന്നോ അതിലധികമോ ആണു്.

ഒന്നാം ഇന്നിംഗ്സ്:

ആദ്യത്തെ ഇന്നിംഗ്സിൽ ശ്രീജിത്തിന്റെ ബൌളിംഗ് ആവറേജ് കുറവായിരുന്നു. അതായതു്,

അതു കൊണ്ടു്,

— (3)

അതായതു് s1 n1-ന്റെ മൂന്നിരട്ടിയെക്കാൾ കൂടുതലാണു്. n1 ഏറ്റവും കുറഞ്ഞതു് 1 ആയതിനാൽ

— (4)

രണ്ടാം ഇന്നിംഗ്സ്:

രണ്ടാം ഇന്നിംഗ്സിൽ

അതു കൊണ്ടു്,

അതായതു്,

— (5)

മൊത്തത്തിൽ:

രണ്ടു പേരും മൊത്തം വഴങ്ങിയ റൺസ് തുല്യമാണു്. 84 + 252 = 336. അതിനാൽ കൂടുതൽ വിക്കറ്റെടുത്തവനായിരിക്കും മികച്ച ബൌളിംഗ് ആവറേജ്. നളനാണു മൊത്തത്തിൽ മികച്ച ബൌളിംഗ് ആവറേജ്. അതിനാൽ,

വേറൊരു വിധത്തിൽ പറഞ്ഞാൽ,

— (6)

ഇനി കണക്കന്മാർ സാധാരണയായി ഉപയോഗിക്കുന്ന തരികിടകൾ. ഈ സാധനങ്ങൾ നേരെയെഴുതി, സ്ഥാനം മാറ്റി, തിരിച്ചു വെച്ചു്, കുനിഞ്ഞമർന്നു്, ചാഞ്ഞുനൂർന്നു്,…

ഒന്നാം തരികിട:

(6)-നെ 2 കൊണ്ടു ഗുണിച്ചു് (5)-നോടു കൂട്ടിയാൽ,

(2) അനുസരിച്ചു് ആയതുകൊണ്ടു്

അതായതു്,

— (7)

എന്നു വെച്ചാൽ, എന്ന സാധനം മൂന്നോ അതിൽ കുറവോ ആണു്. (4) അനുസരിച്ചു് അതേ സാധനം തന്നെ മൂന്നോ അതിൽ കൂടുതലോ ആണു്. അതിനാൽ അതു മൂന്നു് ആയേ പറ്റൂ.

— (8)

ഇനി (3) അനുസരിച്ചു് s1 n1-ന്റെ മൂന്നിരട്ടിയെക്കാൾ കൂടുതലാണു്. അതു ശരിയാവാൻ 1, 4 എന്നീ വിലകളേ ഉള്ളൂ.

— (9a)

— (9b)

രണ്ടാം തരികിട:

(6)-ൽ (8)-ന്റെ മൂല്യം കൊടുത്താൽ,

ഇതു രണ്ടും കൂട്ടിയാൽ പത്തിൽ താഴെയും ആയിരിക്കണം. അപ്പോൾ s2-ന്റെ വില 4-ൽ കുറവാകണം. (4 ആയാൽ n2-ന്റെ വില ഏഴിൽ കൂടുതലും തുക പത്തിൽ കൂടുതലും ആവും.) അതായതു്

ഇനി, (5) അനുസരിച്ചു് s2-ന്റെ മൂന്നിരട്ടിയെക്കാൾ കുറവാണു് n2. മറ്റൊരു വിധത്തിൽ പറഞ്ഞാൽ n2-ന്റെ മൂന്നിലൊന്നിനേക്കാൾ കൂടുതലാണു് s2.

അതേ സമയം, (5), (6), (8) എന്നിവ ചേർത്താൽ

ശ്ശെടാ, മൂന്നിൽ കുറയാനും പാടില്ല, കൂടാനും പാടില്ല. അപ്പോൾ മൂന്നാകാനേ തരമുള്ളൂ. എന്നു വെച്ചാൽ

— (10)

മൂന്നാം തരികിട:

ആകുമ്പോൾ (2)

എന്നാകും. എന്നിവയുടെ വിലകൾ (6)-ൽ ഇട്ടു കൊടുത്താൽ

ദാ പിന്നെയും. ഏഴിൽ കുറയാനും പാടില്ല, കൂടാനും പാടില്ല. അതായതു്,

ഒടുക്കത്തെ തരികിട:

ഇതെല്ലാം കൂടി ഒന്നിച്ചു കൂട്ടിയാൽ ഉത്തരം റെഡി. പിന്നെ ഉത്തരങ്ങളുടെ അടിയിലൊക്കെ രണ്ടു വരയും വരയ്ക്കണം. തീർന്നു!

ഇനി മറ്റുള്ളവർ അയച്ചു തന്ന ഉത്തരങ്ങൾ:

ശ്രീജിത്തിന്റെ ഉത്തരം:

ആദ്യമായി ഏത് കണ്ണുപൊട്ടനും ചെയ്യാന്‍ പറ്റുന്ന പരിപാടിയായ, അറിയാവുന്ന വേരിയബിളിനൊക്കെ അതിന്റെ മൂല്യം കൊടുക്കുക എന്ന് ചടങ്ങ് ചെയ്ത് കഴിയുമ്പോള്‍ എന്റെ കണക്ക് ഷീറ്റ് ഇങ്ങനെ.



ഇത് ഒന്ന് വലത് വച്ച്, ഇടത് മാറി, ചാടി അമര്‍ന്ന് നീണ്ട് നിവര്‍ന്ന് മടക്കിക്കുത്തി ഒക്കെ വയ്ക്കുമ്പോള്‍ എന്റെ കണക്കുപുസ്തകം ഇങ്ങനെ.



എന്ന ഇക്വേഷന്‍ പ്രകാരം -നും -നും കിട്ടാവുന്ന മൂല്യങ്ങള്‍.

(സാധ്യതയുള്ള s1, n1-കള്‍കള്‍ എന്ന ക്രമത്തില്‍)

(1, (4,5,6,7,8,9)), (2, (7,8))

എന്ന ഇക്വേഷന്‍ പ്രകാരം -നും -നും കിട്ടാവുന്ന മൂല്യങ്ങള്‍.

(സാധ്യതയുള്ള s2, n2-കള്‍ എന്ന ക്രമത്തില്‍)

((0,1,2) , 1), ((0, 1,2,3,4,5), 2), ((0,1,2,3,4,5,6,7), 3)

ഇനി എന്ന ഇക്വേഷന്‍ പ്രകാരം നാല് വേരിയബിള്‍സിനും കൊടുക്കാവുന്ന മൂല്യങ്ങള്‍. (ഇതില്‍ എന്ന ഇകേഷന് വിധേയമാകാത്തവയെ ഒഴിവാക്കിയിട്ടുണ്ട്)

1 + 5, 1 + 6, 1 + 7 > 4 + 1
1 + 6, 1 + 7 > 4 + 2
1 + 7 > 4 + 3
1 + 6, 1 + 7 > 5 + 1
1 + 7 > 5 + 2
Nil > 5 + 3
1 + 7 > 6 + 1
Nil > 6 + 2
Nil > 6 + 3
2 + 7, 2 + 8 > 7 + 1
Nil > 7 + 2
Nil > 7 + 3
Nil > 8 + 1
Nil > 8 + 2
Nil > 8 + 3
Nil > 9 + 1
Nil > 9 + 2
Nil > 9 + 3

മുകളിൽ എഴുതിയതു് എന്താണെന്നു് ആർക്കറിയാം! ഏതായാലും ഇവന്റെ കണക്കു് ഉത്തരക്കടലാസ് നോക്കേണ്ടി വന്ന അദ്ധ്യാപകന്റെ ഗതികേടു കടുപ്പം തന്നെ!

ഇതില്‍ എന്ന രണ്ടാമത്തെ ഇക്വേഷനെ തൃപ്തിപ്പെടുത്തുന്ന ഒരു മൂല്യമേ ഉള്ളൂ. 1 + 7 > 4 + 3 എന്നതാണ് അത്.

ഇതിന്‍പ്രകാരം ഇങ്ങനെ ഉത്തരം അനുമാനിക്കാം.

ജേക്കബിന്റെ ഉത്തരം:

————————-

if b=1 then a = 4,5,6,7,8,9
if b=2 then a = 7,8

————————-

if x=1 then y = 2
if x=2 then y = 2,3,4,5
if x=3 then y = 2,3,4,5,6,7
if x=4 then y = 2,3,4,5,6
if x=5 then y = 2,3,4,5
if x=6 then y = 2,3,4
if x=7 then y = 2,3
if x=8 then y = 2
————————-

Trial and error gives

ബാബു കല്യാണത്തിന്റെ ഉത്തരം:

(< കൊണ്ടുപോയതിന്റെ ബാക്കിയാണു്. നിങ്ങൾ തന്നെ അനുമാനിച്ചോളൂ.)

Since,
S1+S2 = N1+N2

From (5)
s1+s2 = 1/3 (as s2 is integer)

From (11), (12) and (13)
k1+k2 =1 and k2 >=1/3, k1+k2 = 4/3+ k, where k >=0
4/3 + k 3/2* (4/3 + 2)

n2 > 5

n2 = 6 wont give the correct solution…
so n2 = 7

n1 = 1, n2 = 7 s1 = 4 and s2 = 3

അജ്ഞാതയുടെ ഉത്തരം:

ശ്രീജിത്തിന്റെ ഒന്നാം ഇന്നിംഗ്സിലെ റണ്‍റേറ്റ് നളന്റേതിനേക്കാള്‍ മെച്ചമായിരുന്നു.

അതായതു്,

(ആദ്യത്തെ വിക്കറ്റ് നളൻ എടുത്തു.)

(നളനെതിരേ 84 റണ്‍സ്)

(ശ്രീജിത്തിനെതിരേ 252 റണ്‍സ്)

ഈ കണ്ടീഷന്‍ സാറ്റിസ്ഫൈ ചെയ്യാന്‍ രണ്ട് സാധ്യതകള്‍

  1. നളന്റെ വിക്കറ്റ് ഒന്ന് ആയാല്‍ ശ്രീജിത്തിന്റെ മിനിമം 4 എങ്കിലും ആയിരിക്കണം (84/1 =84, 252/4=63)

    s1 -n1 = 3

  2. നളന്റെ വിക്കറ്റ് രണ്ട് ആയാല്‍ ശ്രീജിത്തിന്റെ മിനിമം 7 എങ്കിലും ആയിരിക്കണം (84/2 = 42, 25/7 =36)

    s1-n1 = 4

നളന്‍ മൂന്ന് വിക്കറ്റ് ആയാല്‍ (84/3 =28) , ശ്രീജിത്തിനു 10 വിക്കറ്റ് വേണം(252/10 =25.2) അതു സാധ്യമല്ല

ഇതു തന്നെ രണ്ടാം ഇന്നിംഗിലും സംഭവിച്ചു.

അതില്‍ ശ്രീജിത്തും നളനും എടുത്ത വിക്കറ്റുകള്‍ , എന്നിവയും റണ്‍സ് , എന്നിവയും ആണെന്നു വെയ്ക്കുക. അപ്പോള്‍

(നളൻ കുറഞ്ഞതു രണ്ടു വിക്കറ്റ് എടുത്തു.)

(നളനെതിരേ 252 റണ്‍സ്)

(ശ്രീജിത്തിനെതിരേ 84 റണ്‍സ്)

ഇതു സാറ്റിസ്ഫൈ ചെയ്യാനുള്ള സാധ്യതകള്‍

  1. നളന്‍ 2 (252/2= 126 ) എങ്കില്‍ ശ്രീജിത്ത് 1 (84/1 =1)
  2. നളന്‍ 3,4,5 (252/3 = 84, 252/4 =63,252/5 =50.4) എങ്കില്‍ ശ്രീജിത് 2 (84/2 =42)
  3. നളന്‍ 6,7 (252/6 = 42,252/7=36 ) എങ്കില്‍ ശ്രീജിത് 3 (84/3 =28)

n2 -s2 = 1
n2-s2 =2
n2-s2 =3
n2-s2 =4

ഇനി മൊത്തം റണ്‍ റേറ്റ് കണക്കുകൂട്ടിയാല്‍ നളനാണു മികച്ചു നില്‍ക്കുന്നതെന്നു കണ്ടു.

അതായതു്,

നളനാണു രണ്ടും കൂട്ടിയാല്‍ കൂടുതല്‍ വിക്കറ്റ്

s1+s2 < n1+n2
{s1+s2-(n1) -(s2) < n1+n2 -(n1) -(s2)}

s1 -n1 < n2 -s2

ഇതു സാറ്റിസ്ഫൈ ചെയ്യുന്നതു

s1 -n1 =3 < n2-s2 = 4 (ആദ്യത്തെ ഇന്നിംഗ്സില്‍ കണ്ടീഷന്‍ 1, രണ്ടാമത്തേതില്‍ 3)

ആദ്യത്തെ ഇന്നിങ്സില്‍
നളന്റെ വിക്കറ്റ് ഒന്ന് , ശ്രീജിത്തിന്റെ 4

രണ്ടാമത്തെ ഇന്നിംഗ്സില്‍ നളന്‍ ആറോ ഏഴോ ശ്രീജിത് 3

s1+s2 < n1+n2

4+3 < 1+6 (തെറ്റു)

4+3 < 1+7(ശരി)

മറ്റു ചോദ്യങ്ങൾക്കു (ഈമെയിലിൽ കിട്ടിയതും ഭാവനയിൽ ഉദിച്ചതും) സമാധാനം:

  1. സന്തോഷ് പിള്ള ചോദിക്കുന്നു:

    “നളനെറിഞ്ഞ ഒരു പന്തു് നൂറ്റമ്പതു മീറ്റർ ഓടി വഴിയിൽ നെഞ്ചടിച്ചു വീണിടത്തു നിന്നു് ഞൊണ്ടി ഞൊണ്ടി വന്നാണു് ചന്ത്രക്കാറൻ ക്യാച്ചെടുത്തതു്…” എന്നു പറഞ്ഞതു് അല്പം കടന്നുപോയി. 1983 ലോകകപ്പിൽ കപിൽ ദേവ് 30 വാര (ഏകദേശം 27 മീറ്റർ) ഓടിയെടുത്തതു തന്നെ ഒരു വലിയ കാര്യമാണു്. അപ്പോഴാണു നൂറ്റമ്പതു മീറ്റർ ഓടുന്നതു്! ഈ നൂറ്റമ്പതു മീറ്റർ എത്രയാണെന്നു വല്ല പിടിയുമുണ്ടോ? ഫീൽഡിൽ വേറേ ഒരുത്തനും ഉണ്ടായിരുന്നില്ലേ?

    സമാധാനം:

    ഇതെഴുതിയതു് ശ്രീജിത്താണെന്ന കാര്യം താങ്കൾ മറന്നു പോകുന്നു. പാറപ്പുറത്തു നിന്നു് ഒരു സെക്കന്റിൽ 9.8 കിലോമീറ്റർ സ്പീഡിൽ വീണു എന്നെഴുതിയവനാണു് അവൻ. അതിശയോക്തി അവന്റെ കൂടെപ്പിറപ്പാണു്. അറിയാൻ വയ്യാത്ത കാര്യത്തെപ്പറ്റിയും ആധികാരികമായി പറഞ്ഞുകളയും. വല്ല എട്ടോ പത്തോ മീറ്റർ ഓടിക്കാണും. ദാറ്റ്സ് ഓൾ!

  2. ആദിത്യൻ രോഷാകുലനായി പറയുന്നു:

    “ആദിത്യനു ഫീൽഡിംഗു മാത്രം. വിക്കറ്റ് കീപ്പറുടെ പുറകിൽ ബൌണ്ടറിയിലാണു് ആദിത്യൻ ഫീൽഡു ചെയ്യാറുള്ളതു്…” എന്നതു പച്ചക്കള്ളമാണു്. ഞാൻ ഒരു ഓപ്പണിംഗ് ബാറ്റ്സ്മാനാണെന്നു ശ്രീജിത്ത് തന്നെ പറഞ്ഞിട്ടുണ്ടല്ലോ. നിൽക്കുന്നതു ബാറ്റ്സ്മാന്റെ പുറകിലുമല്ല. ഈ കഥയിൽ ഉടനീളം സുന്ദരനും സദ്ഗുണസമ്പന്നനും സ്ത്രീലമ്പടനും കളരിയഭ്യാസിയും അതീവ ബുദ്ധിമാനുമായ എന്നെ കരിതേച്ചു കാണിക്കാനാണു് ശ്രമിച്ചിരിക്കുന്നതു്. ആ ചന്ത്രക്കാറനെ ഞാൻ ഒരു വിരലു കൊണ്ടു ചുഴറ്റിയെറിയും. കേസു കൊടുക്കും ഞാൻ! എല്ലാറ്റിനെയും കോടതി കയറ്റും ഞാൻ!

    സമാധാനം:

    അടങ്ങു് ആദിത്യാ, അടങ്ങു്. കഥയെഴുതുന്ന പ്രതിഭാധനന്മാർ അതിലെ നായകനെ പെരുപ്പിച്ചു കാണിക്കാൻ ബാക്കിയുള്ളവരെ ഇകഴ്ത്തുന്നതു് അനുവദനീയമാണു്. നിന്റെ എംടീടെ റ്റണ്ടാമൂഴത്തിൽ യുധിഷ്ഠിരനെയും അർജ്ജുനനെയുമൊക്കെ വെറും ഏഴാം കൂലികളാക്കിയില്ലേ?

    കേസു വേണമെങ്കിൽ കൊടുത്തോളൂ. ശ്രീജിത്ത് ഇപ്പോൾ നാട്ടിലുണ്ടു്.

  3. ഡാലി ചോദിക്കുന്നു:

    ശ്രീജിത്ത് ചോദിക്കുന്ന “എടാ, നമുക്കു ഫോളോ ഓൺ ആക്കിയാൽ ഇനി ബാറ്റു ചെയ്യേണ്ടി വരില്ലല്ലോ…” എന്നതു തെറ്റല്ലേ? “ബൌൾ ചെയ്യേണ്ടി വരില്ലല്ലോ…” എന്നല്ലേ വേണ്ടതു്?

    സമാധാനം:

    ഡാലി പറഞ്ഞതു ശരിയാണു്. ഇനി ഇത്തരം തെറ്റുകൾ വരുത്തരുതു് എന്നു ശ്രീജിത്തിനോടു പറയാം. ഈ പോസ്റ്റ് ഞാൻ തിരുത്തിയിട്ടില്ല എന്നതു പ്രത്യേകം ശ്രദ്ധിക്കുക.

  4. തഥാഗതൻ പറയുന്നു:

    ഇതു മുഴുവൻ തെറ്റാണു്. എനിക്കു ക്രിക്കറ്റ് കളി അറിയില്ല എന്നു ഞാൻ എവിടെത്തൊട്ടു വേണമെങ്കിലും സത്യം ചെയ്യാം.

    സമാധാനം:

    താങ്കളുടെ കളി കണ്ടിട്ടുള്ളവരും എവിടെത്തൊട്ടു വേണമെങ്കിലും ആ സത്യം ചെയ്യും, താങ്കൾക്കു കളി അറിയില്ലെന്നു്. ചുമ്മാതാണോ പൂജ്യം റൺസ്, പൂജ്യം വിക്കറ്റ്, പൂജ്യം ക്യാച്ച്…

  5. ജ്യോതിർമയി പറയുന്നു:

    എന്റേതായി ഉദ്ധരിച്ചിട്ടുള്ള വാക്യത്തിൽ തെറ്റുണ്ടു്. “യഥാऽऽഗതസ്തഥാ ഗതഃ” എന്നു സന്ധി ചേർത്തു തന്നെയാണു ഞാൻ പറഞ്ഞതു്.

    സമാധാനം:

    ഈ സംഭവത്തിനു ശേഷം ശ്രീജിത്തിന്റെയും ആദിത്യന്റെയും സന്ധികൾ ഒന്നും ചേരാറില്ല. അതുകൊണ്ടാണു് അങ്ങനെ എഴുതിയതു്.

A:Simple Math
Answers

Comments (6)

Permalink

8. യൂ. ഏ. ഈ. മീറ്റും മണ്ണെണ്ണയും (A)

ഈ പസ്സില്‍ ഇവിടെ ഇട്ടതു നന്നായി. അതിബുദ്ധിമാനായ കലേഷിനു കാര്യമെല്ലാം മനസ്സിലായി. സിദ്ധാര്‍ത്ഥനെ വിളിച്ചു പറഞ്ഞു:

“പ്രിയ ഗൂഢാലോചനക്കാരാ, യൂ. ഏ. ഈ. മീറ്റിന്റെ ഏഴയലത്തു താങ്കളെ കണ്ടുപോയേക്കരുതു്…”

കലേഷ് അങ്ങനെയാണു്. ആരോടും ബഹുമാനത്തോടു കൂടിയേ സംസാരിക്കൂ.

“അപ്പോ അതെങ്ങനെയാ? ഞാന്‍ എല്ലാം അറേഞ്ച് ചെയ്തു ഗ്രില്ലും ബുക്കു ചെയ്തു്…”

“ഗ്രില്ലും പുല്ലുമൊന്നും വേണ്ടാ. എല്ലാം ഞാന്‍ മാനേജ് ചെയ്തോളാം. ങാ, സ്ഥലം വിടു്…”

“എന്നാല്‍ ഞാനും ദില്‍ബനും കൂടി ഇപ്പോള്‍ത്തന്നെ നിങ്ങളെയെല്ലാവരെയും ഈ മീറ്റില്‍ നിന്നു പുറത്താക്കുന്നു…”

“ദില്‍ബനെ വെറുതേ വിടു്. അവനിവിടെ നിന്നോട്ടേ. ഇവിടെ ഭക്ഷണപ്പാത്രത്തിന്റെ അറ്റത്തു പിടിക്കാനും ക്യാമറയില്‍ നോക്കി ഇളിച്ചുകാട്ടാനും മണിക്കൂറില്‍ 40 വാക്കു വെച്ചു ടൈപ്പു ചെയ്തു് മീറ്റ് അപ്‌ഡേറ്റ് നടത്താനും ഒരാള്‍ വേണം. പ്രിയ സിദ്ധാര്‍ത്ഥന്‍ ഏകനായി പോയാല്‍ മതി…”

“നിങ്ങളെന്താ വിചാരിച്ചതു്? എന്നെ ഒഴിവാക്കിയാല്‍ എനിക്കു മീറ്റൊന്നും കിട്ടില്ലെന്നോ? നാട്ടിലിപ്പോള്‍ ഡെയിലി മീറ്റു നടക്കുകയാ. ഞാന്‍ ഇതാ പോകുന്നു-ഡെല്‍ഹിയിലേക്കു്. അവിടെപ്പറ്റിയില്ലെങ്കില്‍ കൊച്ചിയിലേക്കു്. സെമിനാര്‍ അവതരിപ്പിക്കാമോ എന്നു ഞാനൊന്നു നോക്കട്ടേ. പറ്റിയില്ലെങ്കില്‍ എന്റെ പേരു് രാജീവിനു്-അല്ല-ഉമേഷിനിട്ടോ…”

സിദ്ധാര്‍ത്ഥന്‍ ഇന്‍ഡ്യാ ഗേറ്റിന്റെ മുമ്പില്‍ ഓടിക്കിതച്ചെത്തിയപ്പോഴേക്കും പാര്‍വ്വതിയും പരിവാരവും കട്ടേം പടോം മടക്കി ഹോട്ടലിലേക്കു പോയിരുന്നു. ഹോട്ടലെവിടെയെന്നു വഴിയിലുള്ള സര്‍ദാര്‍ജിമാരൊക്കെ ഹിന്ദിയിലും പഞ്ചാബിയിലുമൊക്കെ ചോദിച്ചു ചോദിച്ചു് അവിടെയെത്തിയപ്പോള്‍ അവിടെ വാച്ച്മാന്‍ മാത്രമേ ഉള്ളൂ. (സിദ്ധാര്‍ത്ഥന്‍ പണ്ടേ അങ്ങനെയാണു്. കേള്‍ക്കുന്ന ഭാഷകളിലില്ലെല്ലാം വളരെ ഫ്ലുവന്റാണു്. സംശയമുള്ളവര്‍ ഇതു വായിച്ചുനോക്കൂ.)

ഏതായാലും നൈറ്റ്‌ഫ്ലൈറ്റിനു തന്നെ ഗുവാഹട്ടി-കൊളംബോ-ഹൈദരാബാദ്-മുംബൈ വഴി കൊച്ചിയിലെത്തി.

ഗള്‍ഫില്‍ നിന്നു വരുന്ന ആളല്ലേ എന്നൊക്കെ വിചാരിച്ചു് അവര്‍ കഷ്ടകാലത്തിനു് ഒരു മൈക്ക് സിദ്ധാര്‍ത്ഥനു കൊടുത്തു. അതു കീഴ്ച്ചുണ്ടിനു കീഴെ ഒരു സെലോടേപ്പു കൊണ്ടു് ഒട്ടിച്ചു വെച്ചു് ഒരു തകര്‍പ്പല്ലായിരുന്നോ-“ശബ്ദതാരാ, വലി!” എന്നു്.

(പച്ചാളത്തിന്റെ മസിലു കണ്ടിട്ടാണു് പസ്സിലു ചോദിക്കാഞ്ഞതു് എന്നൊരു കിംവദന്തിയും കേട്ടു.)

ഇതു കേട്ടു ചില കൊച്ചിക്കാര്‍ ശബ്ദതാരാവലി ടൈപ്പു ചെയ്യാന്‍ തുടങ്ങിയത്രേ! പാവം, അവര്‍ക്കറിയുമോ ഇന്നു മുങ്ങിയാല്‍ സിദ്ധാര്‍ത്ഥനിനിയും അടുത്ത മീറ്റിനേ പൊങ്ങൂ എന്നു്!

കളിയൊക്കെ വിടു കൂട്ടരേ, നമുക്കു പസ്സിലിലേക്കു കടക്കാം:

ചോദ്യം:

ചോദ്യം ഇവിടെ.

ഉത്തരം:

ആദ്യമായി, എല്ലാവര്‍ക്കും അറിയാവുന്ന കാര്യങ്ങള്‍ നോക്കാം.

  1. മൊത്തം 22 കുപ്പി മണ്ണെണ്ണ.
  2. ദേവനാണു് ഏറ്റവും കൂടുതല്‍ മണ്ണെണ്ണ കൊടുത്തതു്.
  3. വിശാലനും കുറുമാനും കൊടുത്തതിന്റെ തുകയാണു് ദേവന്‍ കൊടുത്തതു്. മറ്റൊരു രീതിയില്‍ പറഞ്ഞാല്‍, ദേവന്‍ കൊടുത്തതിന്റെ ഇരട്ടിയും തറവാടി കൊടുത്തതും കൂടെ കൂട്ടിയാല്‍ 22 കിട്ടും.

    അതായതു്, ദേവനും തറവാടിയ്ക്കും താന്‍ കൊടുത്തതല്ല, മറ്റേ ആള്‍ കൊടുത്ത മണ്ണെണ്ണയുടെ അളവും അറിയാം (സിദ്ധാര്‍ത്ഥന്റെ പ്രസംഗത്തിനു ശേഷം).
    താന്‍ കൊടുത്ത കുപ്പികളുടെ എണ്ണത്തിന്റെ ഇരട്ടി 22-ല്‍ നിന്നു കുറച്ചാല്‍ ദേവനു തറവാടിയുടെ കുപ്പികളുടെ എണ്ണം കിട്ടും. തന്റെ കുപ്പികളുടെ എണ്ണം 22-ല്‍ നിന്നു കുറച്ചതിന്റെ പകുതി കണ്ടാല്‍ തറവാടിയ്ക്കു ദേവന്റെ കുപ്പികളുടെ എണ്ണവും കിട്ടും. ഒരാളുടെ കൂടെ എണ്ണം കിട്ടിയാല്‍ മതി രണ്ടാള്‍ക്കും. ഉദാഹരണത്തിനു് കുറുമാന്റെ എണ്ണം കിട്ടിയാല്‍, ദേവന്റെ എണ്ണത്തില്‍ നിന്നു് അതു കുറച്ചാല്‍ വിശാലന്റെ എണ്ണം കിട്ടും.

    കുറുമാനും വിശാലനും സ്വന്തം കുപ്പികളുടെ എണ്ണമേ അറിയൂ. (സാധാരണയായി കുറുമാനു് സ്വന്തം കുപ്പികളുടെ എണ്ണം തന്നെ അറിയാറില്ല. അതു വേറേ കാര്യം!). പക്ഷേ അവര്‍ക്കും വേറേ ഒരാളുടെ കൂടി എണ്ണം കിട്ടിയാല്‍ എല്ലാം കണ്ടുപിടിക്കാം.

  4. ദേവന്‍ കുറഞ്ഞതു് 8 കുപ്പി മണ്ണെണ്ണയെങ്കിലും കൊടുത്തിട്ടുണ്ടാവണം. ഏഴേ കൊടുത്തുള്ളുവെങ്കില്‍ തറവാടി എട്ടു കൊടുത്തു എന്നാകും. അപ്പോള്‍ ദേവന്‍ ഏറ്റവും കൂടുതല്‍ കൊടുത്തു എന്നതു തെറ്റും.
  5. ദേവന്‍ പത്തില്‍ കൂടുതല്‍ കൊടുത്തിട്ടുണ്ടാവില്ല. 11 എണ്ണം കൊടുത്താല്‍ തറവാടി ഒന്നും കൊടുത്തില്ല എന്നു വരും. ഒന്നും കൊടുക്കാത്ത ആളെ തറവാടിയാണെങ്കില്‍പ്പോലും സിദ്ധാര്‍ത്ഥന്‍ എടുത്തു പറയാന്‍ സാദ്ധ്യതയില്ല.
  6. എല്ലാവരും വ്യത്യസ്ത എണ്ണം കുപ്പികളാണു കൊടുത്തതു്.

ഇതെല്ലാം നോക്കിയാല്‍ താഴെപ്പറയുന്നവ മാത്രമേ സാദ്ധ്യമാവുകയുള്ളൂ:

( C1) ( 8, 7, 1, 6)
( C2) ( 8, 5, 3, 6)
( C3) ( 8, 3, 5, 6)
( C4) ( 8, 1, 7, 6)
( C5) ( 9, 8, 1, 4)
( C6) ( 9, 7, 2, 4)
( C7) ( 9, 6, 3, 4)
( C8) ( 9, 3, 6, 4)
( C9) ( 9, 2, 7, 4)
(C10) ( 9, 1, 8, 4)
(C11) (10, 9, 1, 2)
(C12) (10, 7, 3, 2)
(C13) (10, 6, 4, 2)
(C14) (10, 4, 6, 2)
(C15) (10, 3, 7, 2)
(C16) (10, 1, 9, 2)

ദേവന്റെ കാര്യം കഷ്ടം തന്നെ. ആള്‍ ബുദ്ധിരാക്ഷസനൊക്കെത്തന്നെ. പക്ഷേ, കക്ഷിയുടെ കയ്യില്‍ എട്ടോ ഒമ്പതോ പത്തോ ആയാലും രക്ഷയൊന്നുമില്ല. എട്ടായാല്‍ നാലു വിധം, ഒമ്പതായാല്‍ ആറു വിധം, പത്തായാല്‍ ആറു വിധം. കുറുമാനു് ഏറ്റവും കുറവാണെന്നുള്ള കാര്യം അദ്ദേഹത്തിനു് അറിയാന്‍ വയ്യ താനും. ചുരുക്കം പറഞ്ഞാല്‍ സുല്ലിട്ടു.

ദേവന്‍ മാത്രമല്ല സുല്ലിട്ടതു്. നമ്മളും സുല്ലിട്ടു. “ഒന്നര” ക്ലൂവെന്നും പറഞ്ഞു സിദ്ധാര്‍ത്ഥന്‍ പറഞ്ഞതില്‍ ഒരു കുന്തവുമില്ല. ദേവനു കിട്ടിയില്ല എന്നതില്‍ നിന്നു നമുക്കു കൂടുതല്‍ വിവരമൊന്നും കിട്ടുന്നില്ല. പാവം കുറുമാന്‍! കാലുമാട്ടി, തലയും ചൊറിഞ്ഞു, താടിയും തടവി ആലോചിച്ചിട്ടും സിദ്ധാര്‍ത്ഥന്റെ ഒന്നരയുടെ ഗുട്ടന്‍സ് മനസ്സിലായില്ല.

എന്നാല്‍പ്പിന്നെ അതു പോകട്ടേ, അതില്ലാതെ തന്നെ കണ്ടുപിടിക്കാമോ എന്നു വിചാരിച്ചു് കുറുമാന്‍ മേല്‍പ്പറഞ്ഞ പട്ടികയെ മനസ്സിലിട്ടുരുട്ടി. എന്നിട്ടും രക്ഷയില്ല. സ്കൂട്ടു ചെയ്തു.

ഇതു നമ്മള്‍ക്കൊരു ചെറിയ ക്ലൂ തന്നു. കുറുമാന്‍ കൊടുത്തതു അഞ്ചു കുപ്പി അല്ല. ആയിരുന്നെങ്കില്‍ (C2) എന്ന ഒരു വിധം മാത്രമേ ഉള്ളൂ എന്നു മനസ്സിലാക്കി പാരീസിലെ ഫോണ്‍ ചെയ്യുന്ന കുന്ത്രാണ്ടത്തിന്റെ ഗുട്ടന്‍സു മനസ്സിലാക്കിയപ്പോള്‍ ആര്‍ക്കിമിഡീസ് ഓടിയപോലെ “യുറീക്കാ, ശാസ്ത്രകേരളം,…” എന്നൊക്കെ പറഞ്ഞു് ഓടിയേനേ. അതുപോലെ (C5), (C9), (C11), (C14) എന്നിവയും അല്ല.

( C1) ( 8, 7, 1, 6)
( C2) ( 8, 5, 3, 6)
( C3) ( 8, 3, 5, 6)
( C4) ( 8, 1, 7, 6)
( C5) ( 9, 8, 1, 4)
( C6) ( 9, 7, 2, 4)
( C7) ( 9, 6, 3, 4)
( C8) ( 9, 3, 6, 4)
( C9) ( 9, 2, 7, 4)
(C10) ( 9, 1, 8, 4)
(C11) (10, 9, 1, 2)
(C12) (10, 7, 3, 2)
(C13) (10, 6, 4, 2)
(C14) (10, 4, 6, 2)
(C15) (10, 3, 7, 2)
(C16) (10, 1, 9, 2)

കുറുമാനും അറിയില്ലല്ലോ താനല്ല ഏറ്റവും കുറച്ചു കൊണ്ടു വന്നതെന്നു്. അതുകൊണ്ടു വേറേയൊന്നും വെട്ടിക്കളയാന്‍ സാദ്ധ്യതയില്ല.

അപ്പോള്‍ താഴെപ്പറയുന്ന പട്ടികയാണു വിശാലനു കിട്ടിയതു്.

( C1) ( 8, 7, 1, 6)
( C3) ( 8, 3, 5, 6)
( C4) ( 8, 1, 7, 6)
( C6) ( 9, 7, 2, 4)
( C7) ( 9, 6, 3, 4)
( C8) ( 9, 3, 6, 4)
(C10) ( 9, 1, 8, 4)
(C12) (10, 7, 3, 2)
(C13) (10, 6, 4, 2)
(C15) (10, 3, 7, 2)
(C16) (10, 1, 9, 2)

വിശാലന്റെ കൊച്ചുതലയില്‍ ഇതെല്ലാം കൂടി ആവാഹിച്ചു കണക്കുകൂട്ടാന്‍ നിര്‍വ്വാഹമില്ലാത്തതിനാല്‍ ചെവിപ്പുറകില്‍ നിന്നു് ഒരു പെന്‍സില്‍ എടുത്തു കടലാസ്സില്‍ പട്ടിക വരച്ചു നോക്കി, അതില്‍ നേരേ ചൊവ്വേ നെടുകേ കുറുകേ നാലു നോട്ടം നോക്കി രക്ഷയില്ല എന്നു കണ്ടിട്ടു് പന്തു് തറവാടിയ്ക്കു പാസ് ചെയ്തു.

വിശാലനു് അതൊരു ചെറിയ കാല്‍‌വെയ്പു മാത്രമായിരുന്നു. നമുക്കോ ഒരു കുതിച്ചുചാട്ടവും. വിശാലനു കിട്ടാഞ്ഞതിനാല്‍ (C1), (C3), (C6), (C8), (C10), (C13), (C16) എന്നിവ നമ്മളും തറവാടിയും ഒഴിവാക്കി.

( C1) ( 8, 7, 1, 6)
( C3) ( 8, 3, 5, 6)
( C4) ( 8, 1, 7, 6)
( C6) ( 9, 7, 2, 4)
( C7) ( 9, 6, 3, 4)
( C8) ( 9, 3, 6, 4)
(C10) ( 9, 1, 8, 4)
(C12) (10, 7, 3, 2)
(C13) (10, 6, 4, 2)
(C15) (10, 3, 7, 2)
(C16) (10, 1, 9, 2)

കുറുമാനല്ല ഏറ്റവും കുറച്ചു കൊടുത്തതെന്നു വിശാലനും അറിയില്ലല്ലോ. അപ്പോള്‍ ഇത്ര മാത്രമേ ചെയ്തിരിക്കാന്‍ സാദ്ധ്യതയുള്ളൂ.

അവസാനം, സംഗതി തറവാടിയ്ക്കു കിട്ടിയപ്പോള്‍ ഇത്രയേ ഉള്ളൂ:

( C4) ( 8, 1, 7, 6)
( C7) ( 9, 6, 3, 4)
(C12) (10, 7, 3, 2)
(C15) (10, 3, 7, 2)

ഇതു തറവാടി പറഞ്ഞതു കൊണ്ടു് നമുക്കു് ഒന്നു മനസ്സിലാക്കാം. തറവാടി കൊടുത്തതു രണ്ടു കുപ്പി അല്ല. പിന്നെ ഏതു്? ആറോ നാലോ?

തറവാടിയ്ക്കു ബുദ്ധിമുട്ടൊന്നുമില്ല. കക്ഷിയ്ക്കു താന്‍ കൊടുത്ത കുപ്പികളുടെ എണ്ണം അറിയാം. പക്ഷേ നമ്മളോ?

നമ്മളിവിടെ വടിയായേനേ, ആ സിദ്ധാര്‍ത്ഥന്‍ പറഞ്ഞതു കേട്ടു പസ്സില്‍ സോള്‍വു ചെയ്യാന്‍ നിന്നിരുന്നെങ്കില്‍. ഒന്നര ക്ലൂവാണെന്നു പറഞ്ഞു വഴി തെറ്റിച്ചതും പോരാ, അവസാനം ഇങ്ങനെയൊരു പാരയും! ശബ്ദതാരാവലി കുത്തിയിരുന്നു ടൈപ്പു ചെയ്യുന്ന കൊച്ചിക്കാരുടെ ഒരു ഗതികേടേ!

ഇവിടെയാണു ഞാന്‍ അവസരത്തിനൊത്തുയര്‍ന്നതു്. ഞാന്‍ പറഞ്ഞില്ലേ, കുറുമാന്‍ അത്ര കുറഞ്ഞവന്‍ അല്ല, മറ്റൊരുവനാണു് ഏറ്റവും കുറച്ചു കൊടുത്തതെന്നു്. ആ ക്ലൂ ഉപയോഗിക്കൂ സുഹൃത്തുക്കളേ. അപ്പോള്‍ (C4) അല്ല എന്നു മനസ്സിലാകും.

അപ്പോള്‍ ഉത്തരം (C7). അതായതു്

ദേവന്‍: 9 കുപ്പി
കുറുമാന്‍: 6 കുപ്പി
വിശാലന്‍: 3 കുപ്പി
തറവാടി: 4 കുപ്പി.


ഒരുപാടു പേര്‍ ഉത്തരമയച്ചു. അതില്‍ പലര്‍ക്കും തെറ്റി. തെറ്റിയവരില്‍ ചിലര്‍ പിന്നീടു ശരിയാക്കി.

ആദ്യം ഉത്തരമയച്ചതു സിബുവാണു്. അദ്ദേഹത്തിന്റെ ഉത്തരം ഞാന്‍ മുകളില്‍ കൊടുത്തതു തന്നെ. ഇവിടെ വായിക്കുക.

ഏറ്റവും രസകരമായ ഉത്തരം അയച്ചതു വിശ്വം. അതു് ഇവിടെ. വായിക്കാന്‍ വിട്ടുപോകരുതു്.

ഇവരെക്കൂടാതെ ദേവരാഗം, സിജു, അപ്പോള്‍ ശരി എന്നിവര്‍ പൂര്‍ണ്ണമായ ശരിയുത്തരം അയച്ചു.

കുട്ട്യേടത്തി, വല്യമ്മായി, ആദിത്യന്‍ എന്നിവര്‍ ആദ്യം തെറ്റിച്ചെങ്കിലും പിന്നീടു ശരിയാക്കി. ഇവരില്‍ ആദിത്യന്‍ ഉത്തരവും കണ്ടുപിടിച്ച രീതിയുമെല്ലാം കൂടി ഒരു എക്സല്‍ ഷീറ്റിലൊതുക്കിയതു താഴെച്ചേര്‍ക്കുന്നു.

ബാബു കല്യാണം, സിദ്ധാര്‍ത്ഥന്‍ എന്നിവര്‍ ശരിയുത്തരമയച്ചു. പക്ഷേ വിശദീകരണമയയ്ക്കാഞ്ഞതിനാല്‍ പൂര്‍ണ്ണമല്ല.

ഫൈസല്‍, കുസൃതിക്കുടുക്ക, സു, പച്ചാളം, സുല്ല്, ഇത്തിരിവെട്ടം, സുഭദ്രം, കുറുമാന്‍, പ്രവീണ്‍, പൊന്നപ്പന്‍, രാധ എന്നിവരുടെ ഉത്തരം ശരിയല്ല. പല ഉത്തരങ്ങള്‍ അയച്ചതിനെ തെറ്റായ ഉത്തരമായി കണക്കാക്കും, അതില്‍ ശരിയുത്തരം ഉണ്ടെങ്കില്‍ പോലും.


ഹൈദരാബാദില്‍ വെച്ചു ഞാന്‍ പങ്കെടുത്ത ഒരു പസ്സില്‍ സോള്‍‌വിംഗ് മത്സരത്തില്‍ ചോദിച്ച ഒരു ചോദ്യമാണിതു്. ഞാന്‍ ഇതിനു് അയച്ച ഉത്തരം ഇവിടെ. ശരിയുത്തരം കൂടാതെ എവിടെയൊക്കെ തെറ്റാം എന്നും ഇതില്‍ വിശദീകരിക്കുന്നുണ്ടു്. ചോദ്യത്തിലെ ഒരു ചെറിയ പിശകും ഞാന്‍ ചൂണ്ടിക്കാട്ടിയിരുന്നു.

എല്ലാവര്‍ക്കും നന്ദി!

A:Logical
A:Simple Math
Answers

Comments (6)

Permalink

7. പൊട്ടിയ മാല (A)

ചോദ്യം:

പന്ത്രണ്ടാം നൂറ്റാണ്ടില്‍ ഭാസ്കരാചാര്യര്‍ “ലീലാവതി” (പാടീഗണിതം) എന്ന ഗണിതശാസ്ത്രഗ്രന്ഥത്തില്‍ ചോദിച്ച ഒരു പ്രശ്നമായിരുന്നു ഈ ലക്കത്തില്‍. ചോദ്യം ഇവിടെ.

ഉത്തരം:

30 മുത്തുകള്‍. ഭൂമിയില്‍ 30/3 = 10. കിടക്കയില്‍ 30/5 = 6. പെണ്ണിന്റെ കയ്യില്‍ 30/6 = 5. പുരുഷന്റെ കയ്യില്‍ 30/10 = 3. അങ്ങനെ മൊത്തം വീണുകിട്ടിയതു് 10 + 6 + 5 + 3 = 24. ബാക്കി 6 എണ്ണം ചരടില്‍ത്തന്നെ.


വഴി എഴുതിച്ചെയ്യുന്ന ഇന്നത്തെ മിടുക്കനായ ഒരു കുട്ടി ഇങ്ങനെ ചെയ്യും.

Simple linear algebra ഉപയോഗിച്ചാല്‍, മൊത്തം മുത്തുകളുടെ എണ്ണം x എന്നു സങ്കല്പിക്കുക. അപ്പോള്‍


(1)-നെ 3, 5, 6, 10 എന്നിവ കൊണ്ടു ഹരിക്കാവുന്ന ഒരു സംഖ്യ (ഉദാഹരണം 30) കൊണ്ടു ഗുണിച്ചാല്‍,


മുകളില്‍പ്പറഞ്ഞ രീതിയാണു ഭാസ്കരാചാര്യര്‍ നല്‍കുന്നതു്. അദ്ദേഹത്തിന്റെ നിയമം:

ഉദ്ദേശകാലാപവദിഷ്ടരാശിഃ
ക്ഷുണ്ണോ ഹൃതോംऽശൌ രഹിതോ യുതോ വാ
ഇഷ്ടാഹതം ദൃഷ്ടമനേന ഭക്തം
രാശിര്‍ഭവേത്‌ പ്രോക്തമിതീഷ്ടകര്‍മ്മ

ഉദ്ദേശ-കാല-അപവത് ഇഷ്ട-രാശിഃ, ക്ഷുണ്ണഃ ഹൃതഃ അംശൌ രഹിതഃ യുതഃ വാ ഇഷ്ട-ആഹതം ദൃഷ്ടം അനേന ഭക്തം രാശിഃ ഭവേത് പ്രോക്തം. ഇതി ഇഷ്ട-കര്‍മ്മ.

അതായതു്, കിട്ടേണ്ട മൂല്യത്തിനു് ഏതെങ്കിലും ഒരു വില (ഇഷ്ടം) കൊടുക്കുക. ചോദ്യത്തില്‍ പറഞ്ഞിരിക്കുന്നതു പോലെ ഗുണിക്കുകയും ഹരിക്കുകയും കൂട്ടുകയും കുറയ്ക്കുകയും ചെയ്യുക. ഇഷ്ടത്തെ കിട്ടുന്ന ഉത്തരം കൊണ്ടു ഹരിച്ചു് കിട്ടേണ്ട ഉത്തരം കൊണ്ടു ഗുണിച്ചാല്‍ ഇഷ്ടത്തിന്റെ ശരിയായ വില കിട്ടും. ഇതിനെ “ഇഷ്ടകര്‍മ്മം” എന്നു പറയുന്നു.

60 മുത്തുകളെന്നു സങ്കല്‍പ്പിക്കുക. ഭൂമിയില്‍ 20, കിടക്കയില്‍ 12, അവളുടെ കയ്യില്‍ 10, അവന്റെ കയ്യില്‍ 6. മൊത്തം 48. ബാക്കി 12. ഉത്തരം .

ഇവിടെ ചില കാര്യങ്ങള്‍ പ്രസക്തമാണു്.

  1. ഇഷ്ടസംഖ്യയെ ഒരു ചരം (variable) ആയി കണക്കാക്കണമെന്നില്ല. ഒരു സംഖ്യ കരുതിയാലും മതി. 3, 5, 6, 10 എന്നിവ കൊണ്ടു ഹരിക്കാവുന്നതായാല്‍ ഭിന്നസംഖ്യ ഒഴിവാക്കാം. മുകളില്‍ 60 എന്നതിനു പകരം ഏതു സംഖ്യയും ഉപയോഗിക്കാം. x എന്നുപയോഗിക്കുന്നതാണു് ഇന്നത്തെ ഹൈസ്കൂള്‍ ആള്‍ജിബ്ര.
  2. ഗുണനം, ഹരണം, കൂട്ടല്‍, കുറയ്ക്കല്‍ എന്നിവയെ ഇഷ്ടസംഖ്യയോടു ചെയ്യുന്നതു മാത്രമേ ഇവിടെ സാദ്ധ്യമാവൂ എന്നു വ്യക്തമായി പറഞ്ഞിരിക്കുന്നു. ഇതില്‍ നിന്നു രണ്ടു കാര്യങ്ങള്‍ വ്യക്തം:
    1. ഇഷ്ടസംഖ്യയല്ലാതെ സംഖ്യകളെ ഇതില്‍ ഉള്‍പ്പെടുത്തരുതു്. അതായതു് ഈ ക്രിയയില്‍ 6 എന്ന സംഖ്യ കൂട്ടാന്‍ പാടില്ല.
    2. മേല്‍പ്പറഞ്ഞ നാലു ക്രിയകളല്ലാതെ മറ്റൊന്നും (ഉദാഹരണം: വര്‍ഗ്ഗം) ചെയ്യാന്‍ പാടില്ല.

    Linear equations-ന്റെ എല്ലാ സ്വഭാവങ്ങളും പറഞ്ഞിട്ടുണ്ടു് എന്നര്‍ത്ഥം.


ജേക്കബും ശ്രീജിത്തും ശരിയായ ഉത്തരം തരുന്നതിനോടൊപ്പം അതെങ്ങനെ കണ്ടുപിടിക്കാം എന്നും വിശദീകരിച്ചു.

ഇന്ദീവരം ഇതു ചെയ്തതു trial and error ഉപയോഗിച്ചാണു്. 3, 5, 6, 10 എന്നിവ കൊണ്ടു ഹരിക്കാവുന്ന സംഖ്യയായിരിക്കണം എന്നതു കൊണ്ടു്, അവയുടെ ല. സാ. ഗു. ആയ 30-ന്റെ ഗുണിതമായിരിക്കണം എന്നു് അനുമാനിച്ചു് ഓരോന്നും ചെയ്തുനോക്കിയാണു കണ്ടുപിടിച്ചതു്.

കൃഷ്ണനും (krish9) ഇതു തന്നെയാണു ചെയ്തതു്. പക്ഷേ, 30-ന്റെ എല്ലാ ഗുണിതങ്ങളും ഉത്തരമാണെന്നു പറഞ്ഞുകളഞ്ഞു. ഇതു ശരിയല്ല. മുത്തുകളുടെ എണ്ണം 30k ആണെങ്കില്‍ ബാക്കി ചരടില്‍ 6k മുത്തുകള്‍ ശേഷിക്കും.

പയ്യന്‍സും ലേഖയും ഉത്തരം ശരിയാക്കി. എങ്ങനെ കണ്ടുപിടിച്ചു എന്നു വിശദീകരിച്ചിട്ടില്ല.

പയ്യന്‍സ് പദ്യത്തില്‍ത്തന്നെ (മലയാള ചോദ്യത്തിന്റെ വൃത്തമായ കുസുമമഞ്ജരിയില്‍ത്തന്നെ) ആണു മറുപടി പറഞ്ഞതു്. പയ്യന്‍സിന്റെ പദ്യം വൃത്തം ശരിയാക്കി താഴെച്ചേര്‍ക്കുന്നു:

മൊത്തമുണ്ടിവിടെ മുത്തു മുപ്പ, തതിലാറു വീണു ബത മെത്തമേല്‍
പത്തു മുത്തു ചിതറിത്തെറിച്ചു തറയില്‍ പതിച്ചതതു കാണുവിന്‍,
മുത്തിലഞ്ചു വധു തന്റെ കയ്യി, ലൊരു മൂന്നു കാന്തനുടെ കയ്യിലും,
ശിഷ്ടമാറു ചരടില്‍ കുടുങ്ങി, യിദമൊത്തു മുപ്പതു കണക്കിലായ്!

സംസ്കൃതചോദ്യത്തിന്റെ വൃത്തമായ സ്രഗ്ദ്ധരയില്‍ത്തന്നെ ഉത്തരവും തരാമെന്നു ശ്രീജിത്ത് പറഞ്ഞതാണു്. ഏതായാലും അദ്ദേഹം അതു ചെയ്തില്ല. നമ്മുടെ ഭാഗ്യം!

എല്ലാവര്‍ക്കും നന്ദി.

A:Simple Math
Answers

Comments (5)

Permalink

4. എടത്താടന്‍ മുത്തപ്പനും ചെക്കിലെ പിശകും (A)

ചോദ്യം:

ചോദ്യം ഇവിടെ.

ഉത്തരം:

വിശാലമനസ്കന്‍ എന്ന ഗ്ലാമര്‍ താരത്തെപ്പറ്റി പറഞ്ഞതു കൊണ്ടാണോ, മുത്തപ്പന്റെ അനുഗ്രഹം കൊണ്ടാണോ, അതോ നല്ല പ്രശ്നമായതുകൊണ്ടാണോ എന്തോ, വളരെയധികം കമന്റുകള്‍ കിട്ടി.

ഉത്തരമയച്ചവര്‍ക്കെല്ലാം ശരിയുത്തരവും കിട്ടി: 31 രൂപ 63 പൈസ.

ഈ തുക ഞാന്‍ ചോദിച്ചപ്പോള്‍ വിശാലന്‍ 63 രൂപ 31 പൈസ തന്നു. അഞ്ചു പൈസ ഭണ്ഡാരത്തിലിട്ടു കഴിഞ്ഞപ്പോള്‍ ബാക്കി 63 രൂപ 26 പൈസ. ഇതു 31.63-ന്റെ കൃത്യം ഇരട്ടി!

ഇനി എങ്ങനെ ഇതു കണ്ടുപിടിക്കും എന്നു നോക്കാം. ലളിതമായ രീതികള്‍ ആദ്യവും കൂടുതല്‍ ഗഹനമായവ പിന്നീടും.

ബീജഗണിതം ഉപയോഗിച്ചു് കൊടുത്ത ചെക്കിലെ തുക r രൂപയും p പൈസയും എന്നു സങ്കല്പിച്ചാല്‍,

എന്നെഴുതാം. ഇതിനെ സരളമാക്കിയാല്‍

എന്നു കിട്ടും.


(1) എന്ന സമവാക്യത്തില്‍ രണ്ടു ചരങ്ങള്‍ (variables) ഉണ്ടു്. ഒരു സമവാക്യവും. ഇതു നിര്‍ദ്ധരിക്കാന്‍ രണ്ടു കുഴപ്പമുണ്ടു്.

  1. ഇതിനു് അനന്തം ഉത്തരങ്ങളുണ്ടു്. ഒരു ചരത്തിനു് ഒരു നിശ്ചിതവില കൊടുത്താല്‍ മറ്റേതു് അതില്‍ നിന്നു കണ്ടുപിടിക്കാം.
  2. എല്ലാ വിലകളും ഈ പ്രശ്നത്തില്‍ ശരിയാവില്ല. ഉദാഹരണമായി, r=10 എന്നു കൊടുത്താല്‍ p=(1995/98) എന്നു കിട്ടും.

    r, p എന്നിവ പൂര്‍ണ്ണസംഖ്യകളായിരിക്കണം. ഈ പ്രശ്നത്തില്‍ അവ 0-ത്തിനും 99-നും ഇടയ്ക്കുള്ള (രണ്ടും ഉള്‍പ്പെടെ) പൂര്‍ണ്ണസംഖ്യയായിരിക്കണം.

ഇതിനെ indeterminate integer equation എന്നു വിളിക്കുന്നു. തന്നിട്ടുള്ള സമവാക്യങ്ങള്‍ കൊണ്ടു് പൂര്‍ണ്ണമായി നിര്‍ദ്ധരിക്കാന്‍ പറ്റാത്ത സമവാക്യമാണു് indeterminate equation. പൂര്‍ണ്ണസംഖ്യകള്‍ മാത്രം മൂല്യമായി വരുന്നവ integer equation-ഉം.

ഡയഫാന്റസിന്റെ പേരിലാണു് ഇത്തരം സമവാക്യങ്ങള്‍ അറിയപ്പെടുന്നതു്. എങ്കിലും ഇവയില്‍ പലതും മറ്റു പല ഗണിതജ്ഞരും നിര്‍ദ്ധരിച്ചിരുന്നു-ഭാരതത്തിലെ ബ്രഹ്മഗുപ്തനും ഭാസ്കരനും ഉള്‍പ്പെടെ.

താഴെക്കൊടുത്തിരിക്കുന്ന തിയറി പൂര്‍ണ്ണമായി ആവിഷ്കരിക്കപ്പെടുന്നതു് 18, 19 നൂറ്റാണ്ടുകളിലാണു്. ലെഗ്രാന്‍‌ജെ, ഓയ്‌ലര്‍, ഗോസ് എന്നിവരാണു് ഇതിലെ ഭൂരിഭാഗം കാര്യങ്ങളും കണ്ടുപിടിച്ചതു്.


ഈ linear integer equation-ഉം അനന്തം ഉത്തരങ്ങള്‍ ഉണ്ടു്. നമുക്കു് r = R, p = P എന്നൊരു ഉത്തരം കിട്ടിയാല്‍

(1) എന്ന സമവാക്യത്തിനെ ഇങ്ങനെ എഴുതാം.

ഇതിനു് ഇത്രയേ അര്‍ത്ഥമുള്ളൂ-98p-യെ 199 കൊണ്ടു ഹരിച്ചാല്‍ ശിഷ്ടം 5 കിട്ടണം. ഇങ്ങനെയുള്ള p കണ്ടുപിടിക്കുക. (p കിട്ടിയാല്‍ r കണ്ടുപിടിക്കാന്‍ ബുദ്ധിമുട്ടില്ലല്ലോ.)

ഇവിടെ p=0, 1, 2, …, 198 എന്നീ മൂല്യങ്ങള്‍ കൊടുത്താല്‍ ശിഷ്ടങ്ങള്‍ 0, 1, 2, …, 198 എന്നിവ കിട്ടും-ആ ക്രമത്തിലല്ലെന്നു മാത്രം. മറ്റൊരു വിധത്തില്‍ ‍പറഞ്ഞാല്‍, p=0, 1, 2, …, 198 എന്നീ മൂല്യങ്ങളില്‍ കൃത്യം ഒരെണ്ണം 5 ശിഷ്ടം തരും.

ഇതു പണിയായല്ലോ. ആരെക്കൊണ്ടു കഴിയും 199 തവണ ഇതു ചെയ്തുനോക്കാന്‍? വേറേ വഴി വല്ലതുമുണ്ടോ?

ഉണ്ടല്ലോ. ഇങ്ങനെയുമെഴുതാം.

98 കൊണ്ടു ഹരിക്കുമ്പോള്‍ -5 ശിഷ്ടം കിട്ടുന്നതും 93 കിട്ടുന്നതും ഒന്നു തന്നെയായതു കൊണ്ടു് ഇതിനെ

എന്നെഴുതാം. മുമ്പു പറഞ്ഞ തിയറി അനുസരിച്ചു് r=0, 1, 2, …, 97 എന്നീ വിലകള്‍ കൊടുത്താല്‍ കൃത്യം ഒരെണ്ണം 93 ശിഷ്ടം തരും.

199 തവണ എന്നുള്ളതു 98 ആയി. പക്ഷേ അതു പോരല്ലോ. ഇനിയും നന്നാക്കാന്‍ പറ്റുമോ?

ആലോചിച്ചാല്‍, p എന്നതു് r-ന്റെ ഇരട്ടിയോടു വളരെ അടുത്തു നില്‍ക്കുന്ന സംഖ്യയാണെന്നു കാണാം. ആ സംഖ്യ വളരെ ചെറുതാകാന്‍ സാദ്ധ്യതയുണ്ടു്. നമുക്കു് p = 2r + z എന്നു കൊടുക്കാം. അപ്പോള്‍ (1) എന്ന സമവാക്യം

എന്നായി മാറും. അതായതു്

അഥവാ,

(3 കൊണ്ടു ഹരിച്ചാല്‍ 5 ശിഷ്ടം വരിക എന്നു പറഞ്ഞാല്‍ ഒരു മൂന്നും കൂടി എടുത്തിട്ടു് ശിഷ്ടം 2 എന്നു പറയാമല്ലോ.)

ഇതു വളരെ ഭേദമാണു്. r=0, 1, 2 എന്നീ മൂന്നു വിലകള്‍ മാത്രം നോക്കിയാല്‍ മതി. അതിലൊന്നിനെ 3 കൊണ്ടു ഹരിച്ചാല്‍ 2 ശിഷ്ടം കിട്ടും.

r=0, 1, 2 എന്നിവ ആയാല്‍ 3 കൊണ്ടു ഹരിച്ച ശിഷ്ടം യഥാക്രമം 0, 2, 1 എന്നിവ ആണെന്നു കാണാം. അപ്പോള്‍ നമ്മുടെ ഉത്തരം z = 1.

അപ്പോള്‍,

സിബുവാണു് ഈ പ്രശ്നം പൂര്‍ണ്ണമായി സോള്‍‌വു ചെയ്ത ഒരേയൊരു വ്യക്തി. മാത്രമല്ല, മുകളില്‍ കൊടുത്ത രീതിയെക്കാള്‍ ലളിതമായ ഒരു വഴി കാണിച്ചുതരുകയും ചെയ്തു-congruence theory ഉപയോഗിക്കാതെ തന്നെ.

സിബു (2)-നെ ഇങ്ങനെ എഴുതി.

ഇതിനെ 3 കൊണ്ടു ഹരിച്ചു ചെറിയ സ്ഥാനമാറ്റം നടത്തിയാല്‍,

ഇവിടെ (z-1) മൂന്നിന്റെ ഗുണിതമായാലേ ഏറ്റവും അവസാനത്തെ പദം ഒരു പൂര്‍ണ്ണസംഖ്യയാവൂ.

r ഒരു പോസിറ്റിവ് സംഖ്യയായതിനാല്‍ z > 0 എന്നും കാണാം.

അപ്പോള്‍, z = 3k+1 = 1, 4, 7, ….

z = 1 ആയാല്‍ r = 31, p = 63
z = 4 ആയാല്‍ r = 125. പക്ഷെ, r എന്നത്‌ വിശാലന്‍ പൈസയായി എണ്ണി എന്നതിനാല്‍ r നൂറില്‍ താഴെ ആവണം. അതുകൊണ്ട്‌ d = 4 ശരിയാവില്ല.

അതുകൊണ്ട്‌ ഒരേ ഒരു ഉത്തരം: ചെക്കിലെഴുതിയത്‌ 31.63

സിബു തന്നെ നമ്മുടെ വിജയി.


ഇതിനു വളരെ സാമാന്യമായ ഒരു നിര്‍ദ്ധാരണം ഉണ്ടു്. മുമ്പു കൊടുത്ത രീതിയില്‍ പൈസ രൂപയുടെ ഇരട്ടിയുടെ അടുത്തു നിന്നതു കൊണ്ടാണു് നമുക്കു് എളുപ്പം ചെയ്യാന്‍ പറ്റിയതു്. ഇല്ലെങ്കിലോ?

ഇല്ലെങ്കിലും ഇത്തരം സമവാക്യങ്ങള്‍ നിര്‍ദ്ധരിക്കാനുള്ള വഴികള്‍ ഗണിതജ്ഞര്‍ ആവിഷ്കരിച്ചിട്ടുണ്ടു്. അതനുസരിച്ചു്, (98/199) എന്ന ഭിന്നത്തിനെ ഒരു തുടര്‍‌ഭിന്നം (continued fraction) ആക്കുക.

ഇതിനെ [0;2,32,2] എന്നും എഴുതാം.

ഈ പ്രശ്നം സോള്‍വു ചെയ്യാന്‍ തുടര്‍ഭിന്നത്തിലെ ആദ്യത്തെ സംഖ്യയുള്‍പ്പെടെയുള്ള പദങ്ങളുടെ എണ്ണം ഒരു ഒറ്റസംഖ്യയായിരിക്കണം. ഇവിടെ അതു നാലാണല്ലോ. അതിനു കുഴപ്പമില്ല. അവസാനത്തെ പദത്തെ

എന്നു മാറ്റിയെഴുതിയാല്‍ മതി. അപ്പോള്‍

എന്നു കിട്ടും. ഇനി ഇതിന്റെ അവസാനത്തെ പദം കളഞ്ഞിട്ടു ബാക്കിയുള്ളതിന്റെ മൂല്യം ഒരു ഭിന്നമായി കണ്ടുപിടിക്കുക.

ഇതിന്റെ ഛേദവും (132) അംശവും (65)

എന്ന സമവാക്യത്തിന്റെ നിര്‍ദ്ധാരണം ആയിരിക്കും. അതായതു്, p = 132, r = 65 എന്ന മൂല്യങ്ങള്‍.

നമുക്കു വേണ്ട സമവാക്യത്തിന്റെ നിര്‍ദ്ധാരണം കിട്ടാന്‍ ഇവയെ 5 കൊണ്ടു ഗുണിച്ചാല്‍ മതി. അതായതു്,

(1) എന്ന സമവാക്യത്തില്‍ ഇട്ടുനോക്കിയാല്‍ ഇവ ശരിയാകും എന്നു കാണാം.

പക്ഷേ, നമുക്കിതു പോരല്ലോ. 0-99 എന്ന പരിധിയിലുള്ളതു കണ്ടുപിടിക്കണമല്ലോ. മുകളില്‍ പറഞ്ഞ നിയമം ഉപയോഗിച്ചു് ഇതു കണ്ടുപിടിക്കാം.

ഇതില്‍ k = -3 എന്നിട്ടാല്‍ r = 31, p = 63 എന്നു കിട്ടും.


മുകളില്‍ പറഞ്ഞതനുസരിച്ചു്

അപ്പോള്‍ ശരി എഴുതുന്നു:

വിശാലൻറെ ഈ വീക്ക്നെസ്സ് അറിയാവുന്ന ആരെങ്കിലും129.262 എന്നൊക്കെ ചെക്കിൽ എഴുതിയാൽ ഉമേഷ്ജി പറഞ്ഞ് പോലെ ഒന്നിലധികം ഉത്തരം കിട്ടും. വിശാലൻ മിഡ്ഡിൽ ഈസ്റ്റിലെ ഓർമയിൽ ചിലപ്പൊൾ 262 രൂപ 129 പൈസ തന്നാലോ? അവിടുത്തെ ചില രാജ്യങ്ങളിൽ 1 ദിനാറ് = 1000 ഫില്സ് എന്നൊക്കെ അല്ലെ കണക്ക്?

ഇനി 1 ദിനാര്‍ = 1000 ഫില്‍‌സ് എന്ന കണക്കുള്ള രാജ്യമാണെങ്കിലോ? ചെക്കെഴുതിയിട്ടു് ഞാന്‍ അഞ്ചു ഫില്‍‌സ് ഭണ്ഡാരത്തിലിട്ടു എന്നു കരുതുക. എന്തൊക്കെ ഉത്തരങ്ങളുണ്ടു്?

മുകളില്‍ പറഞ്ഞ രീതികളിലേതെങ്കിലും ഉപയോഗിച്ചു് ഈ പ്രശ്നം പൂര്‍ണ്ണമായി നിര്‍ദ്ധരിക്കാം. സിബുവൊഴികെ നമ്മുടെ വായനക്കാരാരും ഇതു വരെ പോയില്ലെങ്കിലും, ഈ ആശയങ്ങള്‍ തന്നെ ഉപയോഗിച്ചു് ഉത്തരത്തിലെത്തി.

  1. അടിപൊളീസ്, സിദ്ധാര്‍ത്ഥന്‍, ശ്രീജിത്ത്, വല്യമ്മായി എന്നിവര്‍ ഉത്തരം മാത്രമേ തന്നിട്ടുള്ളൂ. ചെയ്ത വിധം തന്നിട്ടില്ല.

    മിക്കവാറും കമ്പ്യൂട്ടര്‍ പ്രോഗ്രാം എഴുതിയായിരിക്കാം ഉത്തരം കണ്ടുപിടിച്ചതു്. അതു പോരല്ലോ.

  2. പുള്ളി (1) എന്ന സമവാക്യത്തില്‍ പല മൂല്യങ്ങള്‍ ഇട്ടു നോക്കി അവസാനം ഉത്തരം കണ്ടുപിടിച്ചു. അതു പോരാ പുള്ളീ, അല്പം കൂടി ആലോചിക്കൂ.
  3. (1) എന്ന സമവാക്യം എല്ലാവര്‍ക്കും കിട്ടി. ഇനി അതുപോലെയുള്ള ഒരു linear equation കൂടി കിട്ടിയാല്‍ സംഗതി എളുപ്പമായി.

    p എന്നതു് r എന്നതിന്റെ ഇരട്ടിയില്‍നിന്നു് അല്പം വലുതാണെന്ന കാര്യം ശ്രദ്ധിച്ചിട്ടു്

    എന്നു സങ്കല്‍പ്പിച്ചു് ഈ രണ്ടു simultaneous equations-ഉം solve ചെയ്താണു് കുട്ട്യേടത്തി, ചാക്കൊച്ചി, അപ്പോള്‍ ശരി, രാധ, ജേക്കബ് എന്നിവര്‍ ഉത്തരം കണ്ടുപിടിച്ചതു്. “ഇട്ടിയമ്മ ചാടിയാല്‍ കൊട്ടിയമ്പലത്തിന്റെ കഷ്ടിച്ചു് ഒരടി കൂടിയേ പോകൂ” എന്നു വിശ്വം പറഞ്ഞതിന്റെ അര്‍ത്ഥവും ഇതു തന്നെ. ഇവരാണു് തൊട്ടടുത്താ സ്ഥാനത്തിനര്‍ഹര്‍.

    പക്ഷേ, വിശ്വം “കഷ്ടിച്ചു് ഒരടി കൂടിയേ” എന്നു പറഞ്ഞതു ശരിയല്ല. ഉദാഹരണത്തിനു്, ഞാന്‍ 5 പൈസയ്ക്കു പകരം 52 പൈസയാണു് ഇട്ടിരുന്നെങ്കില്‍ (എന്റെ സ്വഭാവം നോക്കിയാല്‍ സാദ്ധ്യത വളരെ കുറവു്) മേല്‍പ്പറഞ്ഞതു പോരാ,

    എന്നതു് ഉപയോഗിക്കണം. ഇട്ടിയമ്മ കൊട്ടിയമ്പലത്തിനു രണ്ടു പടി അപ്പുറത്തേക്കും ചാടാം എന്നര്‍ത്ഥം.

    മുകളില്‍ പറഞ്ഞവര്‍ ഈ ഒരു സാദ്ധ്യതയെപ്പറ്റിയും പറഞ്ഞിരുന്നു. ഒന്നു കൂട്ടി കിട്ടിയില്ലെങ്കില്‍ രണ്ടു കൂട്ടി നോക്കും, അതും കിട്ടിയില്ലെങ്കില്‍ മൂന്നു കൂട്ടി നോക്കും എന്നിങ്ങനെ.

    ഉത്തരമുണ്ടെങ്കില്‍ കണ്ടുപിടിക്കാന്‍ മൂന്നു മൂല്യങ്ങള്‍ മാത്രം പരിശോധിച്ചാല്‍ മതി എന്നു് ഉറപ്പാക്കാന്‍ മുകളില്‍ പറഞ്ഞ തിയറി ഉപയോഗിക്കേണ്ടി വരും.

  4. ഓരോരുത്തരും ചെയ്ത രീതികള്‍ കാണാന്‍ ഈ പോസ്റ്റിലെ കമന്റുകള്‍ വായിക്കുക.


എന്തിനാണു് ഈ ചെറിയ പ്രശ്നം ചെയ്യാന്‍ ഇത്ര വലിയ ഗണിതതത്ത്വങ്ങള്‍ ഉപയോഗിക്കുന്നതു്? മൂട്ടയെ കൊല്ലാന്‍ മെഷീന്‍ ഗണ്‍ ഉപയോഗിക്കണോ?

വക്കാരി കുറച്ചു മുമ്പു് ഇത്തരം ഒരു ചോദ്യം ചോദിച്ചിരുന്നു. ഗണിതം കൊണ്ടു് എന്താണൊരു ഗുണം, പരീക്ഷയ്ക്കു മാര്‍ക്കു വാങ്ങുകയല്ലാതെ?

ഗണിതത്തിന്റെ ഗുണം വ്യക്തമാക്കാനാണു് ഇത്രയും എഴുതിയതു്. ഗണിതം ഉപയോഗിച്ചാല്‍ നമുക്കു് ഈ പ്രശ്നം പൂര്‍ണ്ണമായി നിര്‍ദ്ധരിക്കാന്‍ കഴിയുന്നു. മറ്റു രീതികളില്‍ നമുക്കു് ഒരു ഉത്തരം കിട്ടിയേക്കാം. പക്ഷേ, പൂര്‍ണ്ണമായ ഉത്തരം കിട്ടണമെന്നില്ല.

കൂടാതെ സാമാന്യനിര്‍ദ്ധാരണത്തിനും ഗണിതം കൂടിയേ കഴിയൂ.

A:Simple Math
Answers

Comments (17)

Permalink

1. ഒന്നിച്ചു വരുന്ന സൂചികള്‍ (A)

ചോദ്യം:

ചോദ്യം ഇവിടെ.

ഉത്തരം:

  1. ഗണിതശാസ്ത്രത്തില്‍ വളരെയധികം വിവരവും വിദ്യാഭ്യാസവുമുള്ള ഒരു സുഹൃത്തിനോടു് (അദ്ദേഹത്തിനു് ഇപ്പോള്‍ ഒരു Ph. D. ഉണ്ടു്) ഈ ചോദ്യം ചോദിച്ചപ്പോള്‍ അദ്ദേഹം ഇങ്ങനെ സോള്‍‌വു ചെയ്തു:

    മിനിറ്റു സൂചിയുടെ ആംഗുലര്‍ വെലോസിറ്റി = radians/minute

    മണിക്കൂര്‍ സൂചിയുടെ ആംഗുലര്‍ വെലോസിറ്റി = radians/minute

    t മിനിട്ടു കഴിഞ്ഞാല്‍ അവ രണ്ടും ഒരു ദിശയിലാവും എന്നു വിചാരിക്കുക. അപ്പോള്‍

    രണ്ടു വശത്തെയും കൊണ്ടു ഗുണിച്ചാല്‍

    അതായതു്,

    ഇതു് അതിന്റെ സാമാന്യമായ ഉത്തരമാണു്. n-നു് ഏതു പൂര്‍ണ്ണസംഖ്യ കൊടുത്താലും ഒരു ഉത്തരം കിട്ടും. (0 എന്നു കൊടുത്താല്‍ 12 മണി തന്നെ.) 1 എന്ന വില കൊടുത്താല്‍

    മിനിട്ട് = 1 മണിക്കൂര്‍ 5 മിനിട്ട് 27.272727… സെക്കന്റ് എന്നു കിട്ടും.

    ഇതാണു കണക്കു കൂടുതല്‍ പഠിച്ചാലുള്ള ഒരു കുഴപ്പം. എല്ലാം സങ്കീര്‍ണ്ണമായേ അവര്‍ക്കു ചെയ്യാന്‍ പറ്റുകയുള്ളൂ! എത്ര പശുക്കളുണ്ടെന്നു കണ്ടുപിടിക്കാന്‍ അവര്‍ മൊത്തം കാലുകള്‍ എണ്ണിനോക്കിയിട്ടു നാലു കൊണ്ടു ഹരിച്ചു് ഉത്തരം കണ്ടുപിടിക്കും :)

  2. വളരെയധികം സമര്‍ത്ഥയും അതിലേറെ മടിച്ചിയും എന്തു പ്രശ്നം കിട്ടിയാലും അതു മാത്രം ചെയ്യാനുള്ള ഏറ്റവും എളുപ്പമുള്ള വഴിയുടെ പുറകേ പോകുന്നവളുമായ ഒരു സുഹൃത്തിനോടു ചോദിച്ചപ്പോള്‍ അവള്‍ ഇങ്ങനെ ചെയ്തു.

    1:05-നു ശേഷമാണല്ലോ ഇതുണ്ടാകുന്നതു്. ഇതു് 1:05 കഴിഞ്ഞു് മിനിട്ടു കഴിഞ്ഞു സംഭവിക്കുന്നു എന്നു കരുതുക. മിനിട്ടു സൂചിയ്ക്കു് മണിക്കൂര്‍ സൂചിയുടെ പന്ത്രണ്ടിരട്ടി വേഗതയുണ്ടു്. അതുകൊണ്ടു്

    മിനിട്ട് = 27.272727… സെക്കന്റ്.

    1:05-നു ശേഷം 27.272727… സെക്കന്റ് കഴിഞ്ഞാല്‍ ഇതു സംഭവിക്കും.

    ആള്‍ജിബ്ര ഉപയോഗിച്ചു വളരെ ലളിതമായ ഒരു നിര്‍ദ്ധാരണം. ഇങ്ങിനെയാവും ഹൈസ്കൂള്‍ വിദ്യാഭ്യാസമുള്ള, എന്നാല്‍ അധികം കണക്കു പഠിക്കാത്ത, അധികം പേരും ചെയ്യുന്നതു്.

  3. ഇതു ചെയ്യാന്‍ ആള്‍ജിബ്രയും വേണ്ട എന്നതാണു വസ്തുത. ആറാം ക്ലാസ്സില്‍ പഠിക്കുമ്പോള്‍ ഞാന്‍ ഇതു സോള്‍വു ചെയ്തതു്:

    12 മണി കഴിഞ്ഞാല്‍ പിന്നെ 1:05 കഴിഞ്ഞു് ഇതു സംഭവിക്കും. പിന്നെ 2:10+, പിന്നെ 3:15+, 4:20+, 5:25+, 6:30+, 7:35+, 8:40+, 9:45+, 10:50+, 11:55+ എന്നീ സമയങ്ങളിലും സംഭവിക്കും. ഇതില്‍ 11:55+ എന്നതു് അടുത്ത 12 മണി തന്നെയാണു്. അതായതു്, 12 മണിക്കൂറിനിടയില്‍ ഇതു 11 തവണ ഉണ്ടാകും. അതിനാല്‍ ഒരു തവണ ഉള്ള സമയം = മിനിട്ട് = 1 മണിക്കൂര്‍ 5 മിനിട്ട് 27.272727… സെക്കന്റ്.

എങ്ങനെ ചെയ്താലും ഒരേ ഉത്തരം. ഇതാണല്ലോ ഗണിതത്തിന്റെ ഒരു മഹത്ത്വം!

A:Simple Math
Answers

Comments (2)

Permalink